Производящая функция моментов: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Bosik GN (обсуждение | вклад) |
RedBot (обсуждение | вклад) м r2.7.1) (робот добавил: ca:Funció generadora de moments |
||
Строка 44: | Строка 44: | ||
[[Категория:Теория вероятностей]] |
[[Категория:Теория вероятностей]] |
||
[[ca:Funció generadora de moments]] |
|||
[[de:Momenterzeugende Funktion]] |
[[de:Momenterzeugende Funktion]] |
||
[[en:Moment-generating function]] |
[[en:Moment-generating function]] |
Версия от 10:18, 4 февраля 2012
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Определение
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:
- .
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
- ,
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина дискретна, то есть , то
- .
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
- .
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
- .
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- .
Свойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
- .
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
- .
Вычисление моментов
- .