Комплексная амплитуда

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Определение

Пусть имеется гармонический сигнал:

 $a(t)=A\cos {(\omega t+\phi )}$

Над сигналами, записанными в подобной форме, тяжело производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а угол - фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

  ${\hat {a}}(t)\;=Ae^{i(\omega t+\phi )}=Ae^{i\phi }e^{i\omega t}={\hat {A}}\;e^{i\omega t}$

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

  ${\hat {A}}\;=Ae^{i\phi }$

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:

  $a(t)=\Re ({\hat {A}}\;)\cos {(\omega t)}-\Im ({\hat {A}}\;)\sin {(\omega t)}$

где

  $\Re ({\hat {A}}\;)=A\cos {(\phi )},\quad \Im ({\hat {A}}\;)=A\sin {(\phi )}$

Тригонометрическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала $\cos {(\omega t)}$.

Операции над комплексной амплитудой

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

• умножение комплексной амплитуды на константу
• сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• интегрирование комплексной амплитуды по времени
• дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

• принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
• меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

• Характеризует и амплитуду, и фазу
• Не содержит зависимости от времени
• Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексной амплитуды и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также

Метод комплексных амплитуд
Формула Эйлера