Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Sonic86 (обсуждение | вклад) |
Sonic86 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
* Автоморфизм Фробениуса <math>\sigma</math> является [[автоморфизм|автоморфизмом]]: <math>\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)</math>. |
* Автоморфизм Фробениуса <math>\sigma</math> является [[автоморфизм|автоморфизмом]]: <math>\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)</math>. |
||
* Автоморфизмы <math>\sigma^j</math> переводят любой элемент <math>\alpha</math> в ему [[сопряженный |
* Автоморфизмы <math>\sigma^j</math> переводят любой элемент <math>\alpha</math> в ему [[сопряженный корень|сопряженные]] |
||
* Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля <math>\mathbb{F}_q</math>. |
* Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля <math>\mathbb{F}_q</math>. |
||
* Если <math>f</math> - многочлен степени ''m'' над <math>\mathbb{F}_q</math>, то он имеет корень <math>\alpha</math> в <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> и все его ''m'' корней <math>\alpha_j</math> получаются применением ''m'' раз автоморфизма Фробениуса к <math>\alpha</math>: <math>\alpha_j=\sigma_j(\alpha)</math>. |
* Если <math>f</math> - многочлен степени ''m'' над <math>\mathbb{F}_q</math>, то он имеет корень <math>\alpha</math> в <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> и все его ''m'' корней <math>\alpha_j</math> получаются применением ''m'' раз автоморфизма Фробениуса к <math>\alpha</math>: <math>\alpha_j=\sigma_j(\alpha)</math>. |
Версия от 06:21, 14 декабря 2012
Автоморфизм Фробениуса — автоморфизм конечного поля над полем , где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой . Группа автоморфизмов над носит также название группы Галуа поля над . Группа Галуа над является циклической, а значит поле является циклическим расширением поля .
Свойства
- Автоморфизм Фробениуса является автоморфизмом: .
- Автоморфизмы переводят любой элемент в ему сопряженные
- Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля .
- Если - многочлен степени m над , то он имеет корень в и все его m корней получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к : .
- Поскольку , , а все автоморфизмы различны. Также, автоморфизмы исчерпывают все возможные автоморфизмы над , так что группа Галуа является циклической с образующим элементом .
Литература
- Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.