Векторное произведение

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение и история

Векторным произведением вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {b}$ в пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ называется вектор $\mathbf {c}$, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $\mathbf {c}$ равна произведению длин векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ на синус угла $\varphi$ между ними: $\left|\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi$;
• вектор $\mathbf {c}$ ортогонален каждому из векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$;
• вектор $\mathbf {c}$ направлен так, что тройка векторов $\mathbf {abc}$ является правой;
• в случае пространства $\mathbb {R} ^{7}$ требуется ассоциативность тройки векторов $\mathbf {a,b,c}$.

Обозначение:

$\mathbf {c} =\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=\mathbf {a} \times \mathbf {b}$

В литературе определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводится остальное.

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов $\mathbf {a,b,c}$ в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке $\mathbf {A}$ (то есть выберем произвольно в пространстве точку $\mathbf {A}$ и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой $\mathbf {A}$). Концы векторов, совмещённых началами в точке $\mathbf {A}$, не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость $\mathbf {P}$ — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке $\mathbf {A}$. Тогда можно в плоскости $\mathbf {P}$ провести через концы векторов $\mathbf {a,b,c}$, совмещённых началами в точке $\mathbf {A}$, единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $\mathbf {a,b,c}$ в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой $\mathbf {A}$ от плоскости $\mathbf {P}$, обход концов приведённых в общее начало $\mathbf {A}$ векторов $\mathbf {a,b,c}$ в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости $\mathbf {P}$ против часовой стрелки.

B противном случае $\mathbf {a,b,c}$ — левая тройка. В этом случае наблюдателю, находящемуся с той же стороны от плоскости $\mathbf {P}$, обход концов таких векторов будет казаться совершающимся по часовой стрелке.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
• Модуль векторного произведения $[\mathbf {ab} ]$ равняется площади $S$ параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ (см. Рисунок 1)
• Если $\mathbf {e}$ — единичный вектор, ортогональный векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ и выбранный так, что тройка $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {e}$ — правая, а $S$ — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=S\,\mathbf {e}$

• Если $\mathbf {c}$ — какой-нибудь вектор, $\pi$ — любая плоскость, содержащая этот вектор, $\mathbf {e}$ — единичный вектор, лежащий в плоскости $\pi$ и ортогональный к $\mathbf {c}$, $\mathbf {g}$ — единичный вектор, ортогональный к плоскости $\pi$ и направленный так, что тройка векторов $\mathbf {ecg}$ является правой, то для любого лежащего в плоскости $\pi$ вектора $\mathbf {a}$ справедлива формула

$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]=\mathrm {Pr} _{\mathbf {e} }\,\mathbf {a} \left|\mathbf {c} \right|\mathbf {g} .$

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

$V=\mathbf {a\times b\cdot c} =\mathbf {a\cdot b\times c} \ .$

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Представление	Описание
$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=-\left[\mathbf {b} ,\mathbf {a} \right]$	свойство антикоммутативности
$\left[\left(\alpha \mathbf {a} \right),\;\mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\left(\alpha \mathbf {b} \right)\right]=\alpha \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]$	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
$\left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right),\;\mathbf {c} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]+\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right]$	свойство дистрибутивности по сложению
$\left[\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right],\;\mathbf {c} \right]+\left[\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right],\;\mathbf {a} \right]+\left[\left[\mathbf {c} ,\mathbf {a} \right],\;\mathbf {b} \right]=0$	тождество Якоби, выполняется в $\mathbb {R} ^{3}$ и нарушается в $\mathbb {R} ^{7}$
$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {a} \right]=\mathbf {0}$
$\left[\mathbf {a} ,\;[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} ]\right]~=~\mathbf {b} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} )$	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
$|[\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ]|^{2}+(\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}$	Это частный случай мультипликативности $|\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$ нормы кватернионов
$([\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ],\,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\,[\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} ])$	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов $a$, $b$, $c$ и обозначают $(a,\,b,\,c)$ либо $\langle a,\,b,\,c\rangle$

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

$\mathbf {a} =(a_{x},\;a_{y},\;a_{z})$

$\mathbf {b} =(b_{x},\;b_{y},\;b_{z})$

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).$

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

или

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},$

где $\varepsilon _{ijk}$ — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).$

Для запоминания, аналогично:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

или

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.$

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ во вспомогательной правой системе координат ($\mathbf {i} '=\mathbf {i} ,\mathbf {j} '=\mathbf {j} ,\mathbf {k} '=-\mathbf {k}$):

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, $\mathbf {k}$ — стандартные обозначения для ортов в $\mathbb {R} ^{3}$: они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ соответствуют правилам умножения для кватернионов $i$, $j$ и $k$. Если представить вектор $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ как кватернион $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {b} \times \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{T}[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}$

где

$[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}$

Пусть $\mathbf {a}$ равен векторному произведению:

$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}$

тогда

$[\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T})^{T}-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T}.$

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь $n(n-1)/2$ независимых компонент в $n$-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

$[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}$   и   $\mathbf {a} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}$

а так как $[\mathbf {a} ]_{\times }$ кососимметрична, то

$\mathbf {b} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.$

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу $A$ как столбец векторов, тогда

${\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}}\times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {b} \\\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {b} \\\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {b} \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} \end{bmatrix}}$

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить $A$ как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например ($A$ — матрица, $\mathbf {x}$, $\mathbf {y}$ — векторы):

$A\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(A\times \mathbf {x} )\cdot \mathbf {y}$

$A\times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {x} (A\cdot \mathbf {y} )-\mathbf {y} (A\cdot \mathbf {x} )$

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =E\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(E\times \mathbf {x} )\cdot \mathbf {y}$

$E$ — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в $\mathbb {R} ^{3}$ примет вид:

$\int \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} \,\mathbf {A^{T}} \,\mathbf {d\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \,d\mathbf {r} ,$

где ротор матрицы $A$ вычисляется как векторное произведение матрицы $A$ на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

$\int \limits _{\Sigma }\operatorname {grad} \,u\times \,\mathbf {d\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }u\,d\mathbf {r} ,$

$\int \limits _{\Sigma }\left[\mathbf {d\Sigma } ;\left[\nabla ;\mathbf {a} \right]\right]=\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {a} \times d\mathbf {r} .$

Размерности, не равные трём

Пусть $n$ — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора $(n-1)$ векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в $n$-мерном пространстве на операцию с $n$ сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты $\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}$ с $n$ индексами, можно явно записать такое $(n-1)$-валентное векторное произведение как

$P_{i}(\mathbf {a,\;b,\;c,\;\ldots } )=\sum _{j,\;k,\;m,\;\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}}\mathbf {,a,b,c,\ldots } )\cdot \mathbf {e_{i}}$

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}} )=\det({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}}\mathbf {,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}} )={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n}} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\end{vmatrix}}$

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности $(n-1)$.

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при $n\neq 3$ не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

$\ P_{ij}(\mathbf {a,b} )=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая операция

$\ P(\mathbf {a,b} )=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на $\mathbb {R} ^{3}$ структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению $\mathbb {R} ^{3}$ с касательной алгеброй Ли $so(3)$ к группе Ли $SO(3)$ ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

• Псевдоскалярное произведение (только на плоскости!)
• Скалярное произведение векторов
• Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов (только в $\mathbb {R} ^{3}$)
• Двойное (векторно-векторное) произведение векторов (только в $\mathbb {R} ^{3}$)

Другое

• Ротор
• Дивергенция

Литература

• Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Ссылки

• Многомерное векторное произведение
• Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
• В. И. Гервидс. Правое и левое вращение  (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10 марта 2011). — Физические демонстрации. Дата обращения: 3 мая 2011.