Дифференциальная форма: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Melirius (обсуждение | вклад) |
Melirius (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Дифференциа́льная фо́рма''' порядка <math>k</math> или '''<math>k</math>-форма''' — кососимметрическое [[тензорное поле]] типа <math>(0, k)</math> на [[касательное расслоение|касательном расслоении]] [[многообразие|многообразия]]. |
'''Дифференциа́льная фо́рма''' порядка <math>k</math> или '''<math>k</math>-форма''' — кососимметрическое [[тензорное поле]] типа <math>(0, k)</math> на [[касательное расслоение|касательном расслоении]] [[многообразие|многообразия]]. |
||
Дифференциальные формы были введены [[Картан, Эли Жозеф|Эли Картаном]] в начале XX века. |
|||
Формализм дифф'''Дифференциа́льная фо́рма''' порядка <math>k</math> или '''<math>k</math>-форма''' — кососимметрическое [[тензорное поле]] типа <math>(0, k)</math> на [[касательное расслоение|касательном расслоении]] [[многообразие|многообразия]]. |
|||
Дифференциальные формы были введены [[Картан, Эли Жозеф|Эли Картаном]] в начале XX века. |
Дифференциальные формы были введены [[Картан, Эли Жозеф|Эли Картаном]] в начале XX века. |
||
Строка 23: | Строка 19: | ||
'''<math>k</math>-формой''' на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида |
'''<math>k</math>-формой''' на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида |
||
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math> |
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math> |
||
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> |
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> — гладкие функции, <math>dx^i</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] <math>i</math>-ой координаты <math>x^i</math> (функция от вектора, возвращающая его координату с номером <math>i</math> ), а <math>\wedge</math> — [[Внешняя алгебра|внешнее произведение]]. |
||
При смене координат это представление меняет форму. |
При смене координат это представление меняет форму. |
||
Строка 37: | Строка 33: | ||
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешняя производная равна 0. |
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешняя производная равна 0. |
||
* ''k''-форма называется '''точной''', если её можно представить как дифференциал некоторой <math>(k-1)</math>-формы. |
* ''k''-форма называется '''точной''', если её можно представить как дифференциал некоторой <math>(k-1)</math>-формы. |
||
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]]. |
|||
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> называется форма |
|||
: <math>i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)</math> |
|||
== Свойства == |
|||
* Для дифференциалов форм <math>\omega_F</math> векторного поля <math>F</math> справедливо: |
|||
: <math> d(d \omega_F) = 0 </math> |
|||
: <math>d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1</math> |
|||
: <math>d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2</math> |
|||
: <math>d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3</math> |
|||
: <math>d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4</math> |
|||
* Дифференциальную форму можно рассматривать как поле [[полилинейная функция|полилинейных]] кососимметрических функций от <math>k</math> векторов. |
|||
* Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному [[Правило Лейбница|правилу Лейбница]]: |
|||
*: <math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math> |
|||
* Для любой формы справедливо <math>d(d\omega)=0</math>. |
|||
== Примеры == |
|||
* С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ''ковекторное поле'', то есть 1 раз ковариантный [[тензор]], заданный в каждой точке <math>p</math> многообразия <math>M</math> и отображающий элементы [[Касательное пространство|касательного пространства]] <math>T_p (M)</math> в множество вещественных чисел <math>\R</math>: |
|||
*: <math>\omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R</math> |
|||
* [[Форма объёма]] — пример <math>n</math>-формы на <math>n</math>-мерном многообразии. |
|||
* [[Симплектическая форма]] — замкнутая 2-форма <math>\omega</math> на <math>2n</math>-многообразии, такая что <math>\omega^n\not=0</math>. |
|||
== Применения == |
|||
=== Векторный анализ === |
|||
{{main|Векторный анализ}} |
|||
Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе |
|||
Пусть <math>I</math> — [[Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством|канонический изоморфизм]] между [[Касательное пространство|касательным]] и [[Кокасательное пространство|кокасательным]] пространствами, и <math>\sigma</math> — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на <math>M</math>. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на <math>M</math>. |
|||
Тогда [[Ротор (математика)|ротор]] и [[Дивергенция|дивергенцию]] для полей на <math>\R^3</math> можно представить как |
|||
: <math>\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)</math> |
|||
: <math>\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)</math> |
|||
=== Дифференциальные формы в электродинамике === |
|||
{{Основная статья|Дифференциальные формы в электромагнетизме}} |
|||
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим ''2-форму Фарадея'', соответствующую [[Тензор электромагнитного поля|тензору электромагнитного поля]]: |
|||
: <math>\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.</math> |
|||
Эта форма является [[Форма кривизны|формой кривизны]] тривиального главного [[Расслоение|расслоения]] со структурной группой [[U(1)]], с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и [[Калибровочная инвариантность|калибровочная теория]]. ''3-форма тока'' имеет вид |
|||
: <math>\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.</math> |
|||
В этих обозначениях [[уравнения Максвелла]] могут быть очень компактно записаны как |
|||
: <math>\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}</math> |
|||
: <math>\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}</math> |
|||
где <math>*</math> — оператор [[Дуальность Ходжа|звезды Ходжа]]. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории. |
|||
2-форма <math>* \mathbf{F}</math> также называется ''2-формой Максвелла''. |
|||
=== Гамильтонова механика === |
|||
{{main|Гамильтонова механика}} |
|||
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим [[симплектическое многообразие]] <math>M</math> с заданными на нём симплектической формой <math>\omega</math> и функцией <math>H</math>, называемой ''функцией Гамильтона''. <math>\omega</math> задаёт в каждой точке <math>X \in M</math> изоморфизм <math>I</math> [[Кокасательное пространство|кокасательного]] <math>T^{*}_{X}M</math> и [[Касательное пространство|касательного]] <math>T_{X}M</math> пространств по правилу |
|||
: <math>dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M</math>, |
|||
где <math>dH</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] функции <math>H</math>. Векторное поле <math>I dH</math> на многообразии называется ''гамильтоновым полем'', а соответствующий ему [[фазовый поток]] — ''гамильтоновым потоком''. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её [[Внешнее произведение|внешнюю степень]]. Отсюда следует [[Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма|''теорема Лиувилля'']]. [[Скобка Пуассона]] функций <math>F</math> и <math>G</math> на <math>M</math> определяется по правилу |
|||
: <math>[F, G] = \omega( I dF, I dG)</math> |
|||
== Вариации и обобщения == |
|||
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в [[векторное расслоение|векторных расслоениях]]. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от <math>k</math> векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние ''k''-формы на <math>M</math> со значениями в векторном расслоении <math>\pi\colon E \to M</math> определяются как [[Сечение расслоения|сечения]] тензорного произведения расслоений |
|||
: <math>\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E</math> |
|||
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — [[Тангенциальнозначная форма|тангенциальнозначные формы]], в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение <math>T M</math>. |
|||
== Литература == |
|||
* {{книга |
|||
|автор = [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольд В. И.]] |
|||
|заглавие = Математические методы классической механики |
|||
|издание = 5-е изд., стереотипное |
|||
|место = {{М.}} |
|||
|издательство = Едиториал УРСС |
|||
|год = 2003 |
|||
|страниц = 416 |
|||
|isbn = 5-354-00341-5 |
|||
|тираж = 1500 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = Годбийон К. |
|||
|заглавие = Дифференциальная геометрия и аналитическая механика |
|||
|место = {{М.}} |
|||
|издательство = Мир |
|||
|год = 1971 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = Дубровин Б. А., [[Новиков, Сергей Петрович (математик)|Новиков С. П.]], [[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.]] |
|||
|заглавие = Современная геометрия. Методы и приложения |
|||
|место = {{М.}} |
|||
|издательство = Наука |
|||
|год = 1971 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = [[Картан, Анри|Картан А.]] |
|||
|заглавие = Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы |
|||
|место = {{М.}} |
|||
|издательство = Мир |
|||
|год = 1971 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]] |
|||
|заглавие = Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия |
|||
|место = {{М.}} |
|||
|издательство = Наука |
|||
|год = 1987 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = Булдырев В. С., [[Павлов, Борис Сергеевич|Павлов Б. С.]] |
|||
|заглавие = Линейная алгебра и функции многих переменных |
|||
|место = {{Л.}} |
|||
|издательство = Издательство Ленинградского университете |
|||
|год = 1985 |
|||
}} |
|||
== См. также == |
|||
* [[Внешняя алгебра]] |
|||
* [[Когомологии де Рама]] |
|||
* [[Теорема Стокса]] |
|||
* [[Дифференциальные формы в электродинамике]] |
|||
[[Категория:Дифференциальные формы]] |
|||
еренциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, [[симплектическая геометрия|симплектической геометрии]], [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]]. |
|||
Пространство <math>k</math>-форм на многообразии <math>M</math> обычно обозначают <math>\Omega^k(M)</math>. |
|||
== Определения == |
|||
=== Инвариантное === |
|||
В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени <math>k</math>, или просто '''<math>k</math>-форма''' — это гладкое [[сечение расслоения|сечение]] <math>\wedge^k T^* M</math>, то есть <math>k</math>-ой [[внешняя алгебра|внешней степени]] [[кокасательное расслоение|кокасательного расслоения]] многообразия. В частности, |
|||
* значение <math>k</math>-формы на наборе из <math>k</math> штук касательных векторных полей есть функция на многообразии. |
|||
* значение <math>k</math>-формы в точке <math>x</math> многообразия есть кососимметрический <math>k</math>-линейный функционал на <math>T_xM</math>. |
|||
=== Через локальные карты === |
|||
'''<math>k</math>-формой''' на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида |
|||
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math> |
|||
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> — гладкие функции, <math>dx^i</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] <math>i</math>-ой координаты <math>x^i</math> (функция от вектора, возвращающая его координату с номером <math>i</math> ), а <math>\wedge</math> — [[Внешняя алгебра|внешнее произведение]]. |
|||
При смене координат это представление меняет форму. |
|||
На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. ''[[многообразие]]''). |
|||
== Связанные определения == |
|||
* Для <math>k</math>-формы <math>\omega</math>, её '''внешний дифференциал''' (также просто '''дифференциал''') это <math>(k+1)</math>-форма, '''в координатах''' имеющая вид <math>d\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math> |
|||
* для '''инвариантного определения дифференциала''' нужно определить дифференциал функций, то есть <math>0</math>-форм, затем дифференциал <math>1</math>-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по <math>R</math>-линейности и [[Правило произведения| градуированному правилу Лейбница]]: |
|||
** <math>dF(v)=v(F)</math> — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть [[Производная по направлению|производная функции вдоль поля]]. |
|||
** <math>d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - [u,v]</math> — значение дифференциала <math>1</math>-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на [[Скобка Ли#Алгебра Ли векторных полей|коммутатор]]. |
|||
**<math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math> |
|||
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешняя производная равна 0. |
|||
* ''k''-форма называется '''точной''', если её можно представить как дифференциал некоторой (''k''-1)-формы. |
|||
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]]. |
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]]. |
||
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> называется форма |
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> называется форма |
Версия от 21:45, 15 апреля 2013
Дифференциа́льная фо́рма порядка или -форма — кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия.
Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.
Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.
Пространство -форм на многообразии обычно обозначают .
Определения
Инвариантное
В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени , или просто -форма — это гладкое сечение , то есть -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,
- значение -формы на наборе из штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
- значение -формы в точке многообразия есть кососимметрический -линейный функционал на .
Через локальные карты
-формой на будем называть выражение следующего вида
где — гладкие функции, — дифференциал -ой координаты (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ), а — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.
На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).
Связанные определения
- Для -формы , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это -форма, в координатах имеющая вид
- для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть -форм, затем дифференциал -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по -линейности и градуированному правилу Лейбница:
- — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
- — значение дифференциала -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на коммутатор.
- — где верхние индексы k и p дают порядки соответствующих форм.
- Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
- k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой -формы.
- Факторгруппа замкнутых k-форм по точным k-формам называется -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
- Внутренней производной формы по векторному полю называется форма
Свойства
- Для дифференциалов форм векторного поля справедливо:
- Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от векторов.
- Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
- Для любой формы справедливо .
Примеры
- С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке многообразия и отображающий элементы касательного пространства в множество вещественных чисел :
- Форма объёма — пример -формы на -мерном многообразии.
- Симплектическая форма — замкнутая 2-форма на -многообразии, такая что .
Применения
Векторный анализ
Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на . Тогда ротор и дивергенцию для полей на можно представить как
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как
где — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма также называется 2-формой Максвелла.
Гамильтонова механика
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие с заданными на нём симплектической формой и функцией , называемой функцией Гамильтона. задаёт в каждой точке изоморфизм кокасательного и касательного пространств по правилу
- ,
где — дифференциал функции . Векторное поле на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций и на определяется по правилу
Вариации и обобщения
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на со значениями в векторном расслоении определяются как сечения тензорного произведения расслоений
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение .
Литература
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
- Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
- Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
- Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.