Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 89: Строка 89:
== Алгебра и геометрия ==
== Алгебра и геометрия ==


В [[Теория категорий|теории категорий]], [[Функтор (математика)|функторы]] могут быть ковариантными и контравариантными. [[Сопряжённое пространство]] векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры есть ''смешаными'', и не есть функторами.
В [[Теория категорий|теории категорий]], [[Функтор (математика)|функторы]] могут быть ковариантными и контравариантными. [[Сопряжённое пространство]] векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются ''смешаными'', и не являются функторами.


В [[Геометрия|геометрии]] то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию ''M'' это класс эквивалентности кривых ''M'' проходящих через данную точку ''P''. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения ''M''. Ковариантный вектор, или [[ковектор]], таким же способом конструируется из гладкого отображения из ''M'' на вещественную ось, около ''P''. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения. <!-- Its ''components with respect to'' a local basis of one-forms ''dx<sub>i</sub>'' will be covariant; but one-forms and [[differential form]]s in general are contravariant, in the sense that they [[pullback (differential geometry)|pull back]] under smooth mappings. This is crucial to how they are applied; for example a differential form can be ''restricted'' to any [[submanifold]], while this does not make the same sense for a field of tangent vectors.-->
В [[Геометрия|геометрии]] то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию ''M'' это класс эквивалентности кривых ''M'' проходящих через данную точку ''P''. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения ''M''. Ковариантный вектор, или [[ковектор]], таким же способом конструируется из гладкого отображения из ''M'' на вещественную ось, около ''P''. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения. <!-- Its ''components with respect to'' a local basis of one-forms ''dx<sub>i</sub>'' will be covariant; but one-forms and [[differential form]]s in general are contravariant, in the sense that they [[pullback (differential geometry)|pull back]] under smooth mappings. This is crucial to how they are applied; for example a differential form can be ''restricted'' to any [[submanifold]], while this does not make the same sense for a field of tangent vectors.-->

Версия от 18:33, 8 июня 2013

Ковариантность и контравариантность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т.д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют "обычные" компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными же - те, которые изменяются так же как базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах, то есть в пространствах, где задан метрический тензор.

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах

Контравариантные и ковариантные векторы

Пусть -некоторое конечномерное векторное пространство и в нем задан некоторый базис . Произвольный вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: . В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна - если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом можно записать: . Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования . По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) - . Тогда (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу можно записать: . Подставив эту формулу в координатное представление вектора x получим: . Таким образом координаты вектора в новом базисе оказываются равными , то есть преобразуются "противоположно" (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными - изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы - это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как "вектор-столбец".

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством . Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом . Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать: , то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел , как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что , то есть эти функционалы находят -ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть . Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы . Следовательно, они будут меняться так как основной базис! Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами или кратко - ковекторами. Внешне ковектор "выглядит" как обычный вектор - в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса - они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как "вектор-строку".

Контравариантность и ковариантность тензоров

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами - тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким () векторам пространства некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все -линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную -линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют раз коваринтными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так .

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве , совокупность которых также образует линейное пространство , которое является сопряженным к . В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства , а значит противоположно базису основного пространства . То есть они обладают свойством контрвариантности и называются раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как . Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм и , то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным - . Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных - верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается . Общее количество индексов называется рангом или валентностью тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, .

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется сверткой по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид . Линейные операторы являются классическим примером тензора типа .

При преобразовании тензора типа при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор типа при смене координат преобразуется следующим образом:

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования - это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензор

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение - билинейная форма (или в тензорной терминологии - дважды ковариантный тензор), обладающий свойствами симметричности и невырожденности. Такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определенности соответствующей квадратичной формы ) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Этот тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе . Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства - единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и "минус-единицы". В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в "плоском" пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как . В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства и сопряженного пространства , то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи - с помощью метрического тензора. А именно, можно записать . Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора . Эта операция называется поднятием или подъемом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть . Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: .

В случае ортогонального базиса в евклидовом пространстве метрический тензор - единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные является лишними усложнением. Однако, уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для длины вектора аналогично случаю евклидового пространства . В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно - метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции . Его свертка с контравариантным (обычным) вектором дает инвариант - дифференциал функции . Таким образом, если мы принимаем в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора .

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор, что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривленные пространства

Базисы евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат - полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае базисы можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остается выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: . В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом он представляет собой тензорное поле - каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривленных пространств - римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривленное пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности - некоторая гладкая кривая поверхность в трехмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривленной) - это геометрия искривленного пространства. В общем случае искривленного пространства размерности - это произвольная (искривленная) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности является вложенным в "плоское" (то есть неискривленное евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности .

В искривленном пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определения

В случае криволинейных координат или искривленных пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: . Для бесконечно малых изменений старых координат можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

Любой вектор , преобразовывающийся так же как и , то есть

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат рассмотрим ее градиент . При переходе к другим координатам имеем:

Любой вектор преобразовывающийся также, как градиент, то есть

называется ковариантным вектором.

Соответственно, раз контравариантным и раз ковариантным тензором (тензором типа ) называется объект преобразующийся при смене базиса применением раз "обратного" преобразования и раз "прямого" преобразования .

Например, дважды контравариантный тензор и дважды ковариантный тензор преобразуются по следующим законам:

для контравариантного и

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешаными, и не являются функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

См. также

Примечания

Литература

  • Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.