Компактификация: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Eliokim (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Eliokim (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leq f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм|гомеоморфизма]]) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна-Чеха''' и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>. |
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leq f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм|гомеоморфизма]]) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна-Чеха''' и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>. |
||
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация Александрова''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y, f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[ |
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация Александрова''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y, f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]]. |
||
[[Категория:Общая топология]] |
[[Категория:Общая топология]] |
Версия от 00:35, 13 октября 2007
В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, гомеоморфизм и плотно в .
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна-Чеха и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости .
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.