Ковариантность и контравариантность (математика)

Ковариантность и контравариантность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах (в пространствах, где задан метрический тензор).

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах

Контравариантные и ковариантные векторы

Пусть $V$ — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нём задан некоторый базис $e_{i},i=1..n$. Произвольный вектор $x$ можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна — если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом можно записать: $x=x^{i}e_{i}$. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования $S$. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — $S_{i}^{j}$. Тогда $e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}$ (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу $T=S^{-1}$ можно записать: $e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}$. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x получим: $x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}$. Таким образом координаты вектора в новом базисе оказываются равными $x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}$, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец».

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством $V^{*}$. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом $g^{i}$. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать: $f=f_{i}g^{i}$, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел $f_{i}$, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что $g^{i}(x)=x^{i}$, то есть эти функционалы находят $i$-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор $e_{i}$). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть $g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)$. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала $f_{i}$ будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы $T^{-1}=S$. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами или кратко — ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса — они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку».

Контравариантность и ковариантность тензоров

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким ($k$) векторам пространства $V$ некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все $k$-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную $k$-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют $k$ раз коваринтными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так $A_{ij}$.

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве $V^{*}$, совокупность которых также образует линейное пространство $V^{**}$, которое является сопряженным к $V^{*}$. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства $V^{*}$, а значит противоположно базису основного пространства $V$. То есть они обладают свойством контрвариантности и называются $k$ раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как $A^{ij}$. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм $V$ и $V^{**}$, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным — $T_{k}^{m}$. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается $A_{j}^{i}$. Общее количество индексов $k+m$ называется рангом или валентностью тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, $A_{j}^{i}=A(e^{i},e_{j})$.

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется сверткой по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид $y^{i}=A_{j}^{i}x^{j}$. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа $T_{1}^{1}$.

При преобразовании тензора типа $T_{k}^{m}$ при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор $A_{j}^{i}$ типа $T_{1}^{1}$ при смене координат преобразуется следующим образом:

$A_{j}^{i'}=T_{j}^{q}S_{p}^{i}A_{q}^{p}$

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензор

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение $g$ — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающий свойствами симметричности и невырожденности. Такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определенности соответствующей квадратичной формы $g(x,x)$) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Этот тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе $g_{ij}=g(e_{i},e_{j})$. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как $g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}$. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства $V$ и сопряженного пространства $V^{*}$, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать $x_{i}=g_{ij}x^{j}$. Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора $x^{j}=g^{ij}x_{i}$. Эта операция называется поднятием или подъемом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть $g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}$. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: $g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}=x_{i}y^{j}=x^{i}y_{j}=g^{ij}x_{i}y_{j}$.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные является лишними усложнением. Однако, уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для длины вектора аналогично случаю евклидового пространства $x_{i}x^{j}$. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции $\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f$. Его свертка с контравариантным (обычным) вектором $dx^{i}$ дает инвариант — дифференциал функции $df(x)$. Таким образом, если мы принимаем $dx^{i}$ в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы $dx^{i}$ требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора $\ (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $\ dx^{i}$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с $\ dx^{i}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор, что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространства

Базисы евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае базисы можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остается выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: $(dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом он представляет собой тензорное поле — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривленных пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривленное пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трехмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривленной) — это геометрия искривленного пространства. В общем случае искривленного пространства размерности $n$ — это произвольная (искривленная) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности $n$ является вложенным в «плоское» (то есть неискривленное евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности $2n$.

В искривленном пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определения

В случае криволинейных координат или искривленных пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: $x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})$. Для бесконечно малых изменений старых координат $dx^{j}$ можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

$dx'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

Любой вектор $v$, преобразовывающийся так же как и $dx^{i}$, то есть

$v'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}$

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат $f(x)$ рассмотрим её градиент ${\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i}}}$. При переходе к другим координатам имеем:

${\frac {\partial f(x)}{\partial x'^{i}}}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$

Любой вектор $u$ преобразовывающийся также, как градиент, то есть

$u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}u_{j}$

называется ковариантным вектором.

Соответственно, $m$ раз контравариантным и $k$ раз ковариантным тензором (тензором типа $T_{k}^{m}$) называется объект преобразующийся при смене базиса применением $m$ раз «обратного» преобразования ${\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}$ и $k$ раз «прямого» преобразования ${\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$.

Например, дважды контравариантный тензор $A^{ij}$ и дважды ковариантный тензор $A_{ij}$ преобразуются по следующим законам:

$A^{ij}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{q}}}{\frac {\partial x'^{j}}{\partial x^{p}}}A^{pq}$ для контравариантного и $A_{ij}={\frac {\partial x^{q}}{\partial x'^{i}}}{\frac {\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}}A_{pq}$

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

$A_{i}^{j}={\frac {\partial x^{p}}{\partial x'^{i}}}{\frac {\partial x'^{j}}{\partial x^{q}}}A_{p}^{q}$

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешаными, и не являются функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

См. также

• Общековариантность
• Ковариантная производная
• Метрический тензор
• Ковариантность и контравариантность (программирование)

Литература

• Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.