Анализ (раздел математики)

Эта статья — о математическом анализе в широком понимании, как обширном направлении в математике и современном её разделе. О классическом математическом анализе и соответствующей учебной дисциплине см. Математический анализ.

Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа, и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественного и комплексного переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений, вариационное исчисление, гармонический анализ, функциональный анализ, теория динамических систем и эргодическая теория, глобальный анализ. Нестандартный анализ — раздел на стыке математической логики и анализа, применяющий методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.

Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии.

История

См. также: Анализ бесконечно малых

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, прежде всего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. В этой связи сформировались теория функций вещественного переменного и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексного переменного. Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теории меры, благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительного переменного. Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства. Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемого на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра, Арцела). Основные вехи формирования функционального анализа в 1910-е — 1920-е годы — обобщение накопленных в классическом анализе и вариационном исчислении результатов на случай в $n$-мерных евклидовых и гильбертовых пространств (в основном — Гильбертом), введение в анализ абстрактных метрических пространств (Фреше), уточнение понятий отделимости и применение общетопологических методов к анализу (Хаусдорф), освоение функциональных пространств и формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годов сформирована спектральная теория и аксиоматическая теория гильбертовых пространств (фон Нейман, Стоун, Рис).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа (Понтрягин). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ Пуанкаре и благодаря полученным результатам в дифференциальной геометрии, выделился в самостоятельное направление анализ на многообразиях — глобальный анализ. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование), в трудах Понтрягина и учеников в 1950-е годы создана теория оптимального управления.

В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин), то с разработкой в конце 1970-х годов Нельсоном (англ. Edward Nelson) теории внутренних множеств и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие метода форсинга (созданного Коэном для доказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы) в работах Соловея, Скотта и Вопенки (чеш. Petr Vopěnka) разработана теория булевозначных моделей, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ.

Классический математический анализ

Основная статья: Математический анализ

Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная, интеграл.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus).

Теория функций вещественного переменного

Запрос «Теория функций вещественного переменного» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Теория функций вещественного переменного (иногда именуется кратко — теория функций) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции: если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественного переменного — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественного переменного:

• теория меры, в качестве основного инструмента использует понятия меры множества и измеримой функции, на основе которых вводятся более общими способами, чем в классическом анализе, и исследуются интегрирование и дифференцирование, особым образом вводится понятие сходимости, изучается достаточно широкий класс разрывных функций;
• дескриптивная теория функций вещественного переменного, изучающая классификации функций средствами дескриптивной теории множеств (основной результат — классы Бэра);
• конструктивная теория функций, исследующая задачи приближения и интерполяции функций вещественного переменного (развитая в трудах Чебышёва и Бернштейна.

Теория функций комплексного переменного

Основная статья: Комплексный анализ

Предмет изучения теории функций комплексного переменного — числовые функции, определённые на комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{1}$ или комплексном евклидовом пространстве $\mathbb {C} ^{n}$, при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции, играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самым многие результаты теории функций комплексного переменного нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ

Основная статья: Функциональный анализ

Вариационное исчисление

Основная статья: Вариационное исчисление

Гармонический анализ

Основная статья: Гармонический анализ

Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализа включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, почти периодических функций, рядов Дирихле. В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп.

Дифференциальные и интегральные уравнения

В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики).

В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства.

Теория динамических систем и эргодическая теория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем, изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности.

Глобальный анализ

Запрос «Глобальный анализ»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Нестандартный анализ

Основная статья: Нестандартный анализ

Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики, основная идея — формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом, средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными, притом что ими получены ранее не найденные из-за недостатка наглядности результаты классического математического анализа.

Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на теоретико-модельные инструменты и синтаксическое, использующие разного рода расширения стандартной теории множеств. Семантическое направление базируется на локальной теореме Мальцева, позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель. Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия булевозначной модели. Синтаксическое направление основывается на теории внутренних множеств, ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — альтернативная теория множеств.

Литература

• Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
• Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9.
• Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3.