Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. В общем, существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

• Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

$\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,$ где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

$\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S$

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ Данный ряд является расходящимся для произвольного $x\neq 0.$ Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

$\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},$

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку $P\in C$ проведём отрезок $OP\,$ и прямую $L_{p}\,,$, которая проходит через точку Р перпендикулярно к $OP\,$. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых $L_{p}\,,$ обозначим $\Pi \,$. Тогда граница $\Gamma \,$ области $\Pi \,$ называется многоугольником Бореля функции f(z), а область $\Pi \,$ её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

является B-сходящимся в области $\Pi \,$ и не является B-сходящимся в области $\Pi ^{*}\,$ — дополнены до $\Pi \,$ .

См. также

• Сходимость по Чезаро

Ссылки

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .