Теорема Штейнера — Лемуса: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
→См. также: Добавлено: Точка Штейнера |
|||
| Строка 31: | Строка 31: | ||
* [[Теорема Гюйгенса — Штейнера]] |
* [[Теорема Гюйгенса — Штейнера]] |
||
* [[Теорема Мардена]] |
* [[Теорема Мардена]] |
||
* [[Теорема Штейнера (планиметрия)] |
* [[Теорема Штейнера (планиметрия)]] |
||
* [[Теорема Штейнера — Понселе]] |
* [[Теорема Штейнера — Понселе]] |
||
* [[Точка Штейнера]] |
|||
* [[Треугольник]] |
* [[Треугольник]] |
||
* [[Эллипс Штейнера]] |
* [[Эллипс Штейнера]] |
||
Версия от 13:17, 6 мая 2016
Теорема Штейнера — Лемуса
Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.
это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства, хотя алгебраическое доказательство можно легко провести, используя формулу о длине биссектрисы .
История доказательства
Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит их имя.
В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в [1]. Оно строится от противного, далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.
В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Вариации и обобщения
- Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Ботемы — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.
Литература
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 31. — ISBN 5-94057-170-0.
- Weisstein, Eric W. Steiner–Lehmus theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Несколько доказательств теоремы Штейнера — Лемуса (англ.)
Примечания
- ↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).