Двойственное пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Определение

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве $E$, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^{*}$.

Свойства

• В конечномерном случае сопряжённое пространство $E^{*}$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$ над полем $F$:

  любому базису $\{e^{i}\}_{i=1}^{n}$ из $E$ можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис $\{e_{i}\}_{i=1}^{n}$ из $E^{*}$, где функционал $e_{i}\,$ — проектор на вектор $\,e^{i}$:

  $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i},\quad \forall x\in E.$

• Если пространство $E$ евклидово, то есть оно конечномерно и на нём определено скалярное произведение, то между $E$ и $E^{*}$ существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением

$v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$

• Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^{*}$.
• В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому $E^{**}$, совпадает с $E$ (точнее, существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{**}$).

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства $E$ обозначают вектором-столбцом, а элементы $E^{*}$ — вектором-строкой . В тензорном исчислении применяется обозначение $x^{k}$ для элементов $E$ (верхний, или контравариантный индекс) и $x_{k}$ для элементов $E^{*}$ (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения

• В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство ${\bar {E}}$, совпадающее с $E$ как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  ${\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}$

  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.