Двойственное пространство: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 2: Строка 2:


== Определение ==
== Определение ==
Пространство всех линейных функционалов, определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>.
Пространство всех линейных функций (функционалов), определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>.


== Свойства ==
== Свойства ==

Версия от 18:59, 12 мая 2016

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Определение

Пространство всех линейных функций (функционалов), определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .

Свойства

Конечномерные пространства[1]

  • Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
  • Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал  — проектор на вектор :
  • Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
  • Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
  • Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы  — вектором-строкой [источник не указан 4707 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения

  • В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
  • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.