Треугольник Серпинского: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м оформление |
оформление |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
{{Викиучебник|Реализации алгоритмов/Треугольник Серпинского|Треугольник Серпинского}} |
{{Викиучебник|Реализации алгоритмов/Треугольник Серпинского|Треугольник Серпинского}} |
||
:1. Задаются координаты [[аттрактор]]ов — вершин исходного треугольника <math>T_0</math>. |
|||
:2. Вероятностное пространство <math>(0; 1)</math> разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору. |
|||
:3. Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math>, лежащая внутри треугольника <math>T_0</math>. |
|||
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского. |
|||
::1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>. |
|||
::2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число. |
|||
::3. Строится точка <math>P_i</math> с новыми координатами: <math>x_i = \frac{x_{i-1} + x_A}{2}; y_i = \frac{y_{i-1} + y_A}{2}</math>, где: |
|||
:::<math>x_{i-1}, y_{i-1}</math> — координаты предыдущей точки <math>P_{i-1}</math>; <math>x_A, y_A</math> — координаты активной точки-аттрактора. |
|||
:5. Возврат к началу цикла. |
|||
⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
⚫ | |||
* Треугольник Серпинского [[замкнутое множество|замкнут]]. |
* Треугольник Серпинского [[замкнутое множество|замкнут]]. |
||
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1. |
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1. |
Версия от 06:51, 4 октября 2016
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Построение
Итеративный метод
Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Метод хаоса
- 1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
- 2. Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри треугольника .
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число .
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка с новыми координатами: , где:
- — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства
- Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
- Треугольник Серпинского замкнут.
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
- Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
Интересные факты
- Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
- Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].
-
Построение итеративным методом
-
Построение методом хаоса
-
Иллюстрация свойства самоподобия
Примечания
Ссылки
- Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
- Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.