Гиперсфера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Исправленная опечатка Метки: с мобильного устройства из мобильной версии |
Karts360 (обсуждение | вклад) м откат правок 37.17.7.131 (обс) к версии 2A01:D0:9085:0:1912:EED3:D5F8:C804 |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
[[Файл:Hypersphere.png|thumb|Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства]] |
[[Файл:Hypersphere.png|thumb|Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства]] |
||
'''Гиперсфера''' — [[гиперповерхность]] в <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]], образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой ''центром сферы''. |
'''Гиперсфера''' — [[гиперповерхность]] в <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]], образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой ''центром сферы''. |
||
* при <math>n = 1</math> гиперсфера |
* при <math>n = 1</math> гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от ''центра''; |
||
* при <math>n = 2</math> она представляет собой [[окружность]]; |
* при <math>n = 2</math> она представляет собой [[окружность]]; |
||
* при <math>n = 3</math> гиперсфера является [[Сфера (поверхность)|сферой]]. |
* при <math>n = 3</math> гиперсфера является [[Сфера (поверхность)|сферой]]. |
Версия от 07:36, 20 октября 2016
Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при она представляет собой окружность;
- при гиперсфера является сферой.
- при гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения
Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
Якобиан этого преобразования равен
Площадь и объём
Площадь поверхности гиперсферы размерности и объём , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.
Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единичная
сфера |
||||||||
Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
Единичный
шар |
||||||||
Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.
Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
- Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
- Шар гомеоморфен факторизации .
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса