Универсальное множество: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Arventur (обсуждение | вклад) Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству, литература |
||
Строка 30: | Строка 30: | ||
* В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству. |
* В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству. |
||
*: <math>U \cup U = U</math> |
*: <math>U \cup U = U</math> |
||
* Объединение любого множества с его [[Разность множеств|дополнением]] равно универсальному множеству. |
|||
*: <math>A \cup \overline{A} = U</math> |
|||
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. |
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. |
||
*: <math>\forall A \colon U \cap A = A</math> |
*: <math>\forall A \colon U \cap A = A</math> |
||
Строка 62: | Строка 64: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга|автор = [[Столл, Роберт|Столл Р.]]|заглавие = Множества, логика, аксиоматические теории|место = М.|издательство = Мир | год = 1968 | страниц = 231| isbn = | ref = Столл}} |
* {{книга|автор = [[Столл, Роберт|Столл Р.]]|заглавие = Множества, логика, аксиоматические теории|место = М.|издательство = Мир | год = 1968 | страниц = 231| isbn = | ref = Столл}} |
||
* {{книга | автор = [[Нефедов, Виктор Николаевич|Нефедов В.Н.]], [[Осипова, Виктория Аркадьевна|Осипова В.А.]]| заглавие = Курс дискретной математики| место = М. | издательство = МАИ | год = 1992 | страниц = 264| isbn = 5-7035-0157-X | ref = Нефедов}} |
|||
{{Нет ссылок|дата=15 мая 2011}} |
{{Нет ссылок|дата=15 мая 2011}} |
Версия от 10:16, 21 января 2017
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe, universal set), реже .
В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.
В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.
В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations У. В. О. Куайна.
Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].
На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].
В дальнейшем речь идёт о первом значении термина.
Свойства универсального множества
- Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
- В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
- Любое множество является подмножеством универсального множества.
- В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
- Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
- В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
- Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.
- Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
- В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
- Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
- В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
- Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
- Дополнение универсального множества есть пустое множество.
- Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
- В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
Виды
- Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что:
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Столл, 1968, с. 25.
- ↑ С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)
Литература
- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
- Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |