Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

рассматривается предел сумм

$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},$

где интегрирующая функция $j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией). Если $j(x)$ непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx$ (если последний существует).

Интеграл Римана-Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана-Стилтьеса, всякая абсолютно монотонная при $x<0$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана-Стилтьеса, всякая аналитическая функция в круге $|z|<1$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана-Стилтьеса.

Литература

• У. Рудин Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.