Прямая Эйлера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
м +шаблон: некорректные викиссылки в сносках |
|||
Строка 59: | Строка 59: | ||
* 3) центр описанной окружности данного треугольника ABC (он же — центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]] A"B"C") |
* 3) центр описанной окружности данного треугольника ABC (он же — центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]] A"B"C") |
||
* 4) центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] данного треугольника ABC |
* 4) центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] данного треугольника ABC |
||
* 5) Некоторые авторы (см. рис. на сайте {{sfn| http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.jpg}}) добавляют ещё точку L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ABC относительно его центра описанной окружности (L= de Longchamps point), введенную французским математиком Gaston Albert Gohierre. Эта точка — ортоцентр [[антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]] {{sfn|http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm}},{{sfn|http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html}}. |
* 5) Некоторые авторы (см. рис. на сайте {{sfn| http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.jpg}}) добавляют ещё точку Лоншана L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ABC относительно его центра описанной окружности (L= de Longchamps point), введенную французским математиком Gaston Albert Gohierre. Эта точка — ортоцентр [[антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]] {{sfn|http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm}},{{sfn|http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html}}. |
||
'''Вторую прямую Эйлера''' или '''прямую Эйлера-Нагеля''' определяет следующая [[Теорема Хузеля]]. |
'''Вторую прямую Эйлера''' или '''прямую Эйлера-Нагеля''' определяет следующая [[Теорема Хузеля]]. |
Версия от 18:40, 23 августа 2017
Пряма́я Э́йлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
Свойства
- Прямая Эйлера проходит через:
- Центроид треугольника
- Ортоцентр треугольника
- Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
- Центр окружности девяти точек
- Точку Экзетера (Exeter point) X(22)[1]
- Теорема Эйлера. Точка пересечения медиан M делит отрезок между центром описанной окружности O и ортоцентром H в отношении 1:2 ().
- Прямая , проходящая через две точки Вектена и , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника .
- Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах есть
- x sin 2A sin ( B − C ) + y sin 2B sin ( C − A ) + z sin 2C sin ( C − A ) = 0.
Прямая Эйлера и ортоцентрическая ось
На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.
Замечание
- Фраза конца последнего абзаца «На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника» не понятна. Такие прямые совпадают со сторонами либо треугольника, либо ортотреугольника. Получается, что ортоцентрических осей несколько.
- В интернете есть два толкования термина "ортоцентрическая ось":
1) Ортоцентрическая ось треугольника - радикальная ось описанной окружности и окружности девяти точек (Ефремовъ. Новая геометрія треугольника).
2) Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра (в разделе Треугольник в подразделе "Изоциркулярное преобразование").
- Надо уточнить, какой из двух терминов здесь имеется в виду. Здесь имеется в виду второе толкование ортоцентрической оси. Если продолжить стороны чевианного треугольника точки - ортоцентра и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой ортоцентра. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра. Заметим, что треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
- Суммируя все выше сказанное, имеем. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра. На этой прямой лежат три точки попарного пересечения каждой стороны ортотреугольника с соответствующей противоположной стороной исходного треугольника.
Четыре прямых Эйлера и «Точка Шиффлера» Sp
Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).
Некоторые другие известные прямые
- Центр окружности девяти точек является серединой отрезка между центром описанной окружности O и ортоцентром H.
- Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
- Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана .
- Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
- Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника).
- Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.
- Прямая Обера (четырёхсторонника) — прямая, на которой лежат четыре ортоцентра четырёх треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку. Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении точки Микеля.
Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера-Нагеля)
Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщенной прямой Эйлера. На этой прямой лежат 4 точки:
- 1) центроид данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника, и он же — центроид антидополнительного треугольника)
- 2) ортоцентр данного треугольника ABC
- 3) центр описанной окружности данного треугольника ABC (он же — центр окружности Эйлера антидополнительного треугольника A"B"C")
- 4) центр окружности Эйлера данного треугольника ABC
- 5) Некоторые авторы (см. рис. на сайте [3]) добавляют ещё точку Лоншана L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ABC относительно его центра описанной окружности (L= de Longchamps point), введенную французским математиком Gaston Albert Gohierre. Эта точка — ортоцентр антидополнительного треугольника [4],[5].
Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.
- Теорема Хузеля уточненная(Housel). Центр тяжести (G) данного треугольника ABC (центроид), центр вписанной окружности (I), его точка Нагеля (M) и центр (S) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B'C' (или в Центр Шпикера), лежат на одной прямой. Более того,
- IS = SM, IG = 2•GS, MG = 2•IG[6].
Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:
- 1) центроид(G) данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника, и он же — центроид антидополнительного треугольника).
- 2) точка Нагеля (M) данного треугольника ABC (она же — центр круга, вписанного в антидополнительный треугольник A"B"C")
- 3) центр вписанной окружности (I) данного треугольника ABC
- 4) центр (S) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B'C', называемый также центром Шпикера.
- Все обобщенные прямые Эйлера обязательно проходят через центроид данного треугольника, являющегося одновременно центроидами дополнительного треугольника и антидополнительного треугольника.
Точка — Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) и прямые Эйлера
Рисунок к параграфу по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.jpg Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трех вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повернутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяюшие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой 'перспектором Госсарда («the Gossard Perspector»).
Ссылка
Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
История
Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.
См. также
Ссылки
Литература
- Leonhard Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, т. 11. — С. 103—123. Перепечатано в Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139—157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
- Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника. — 1902.
- Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 96—97. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3..
- Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
Ссылки
- ↑ Exeter point// https://en.wikipedia.org/wiki/Exeter_point.
- ↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
- ↑ http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.jpg.
- ↑ http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm.
- ↑ http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html.
- ↑ A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Дата обращения: 5 мая 2012.
В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. |