Уравнения Эйнштейна: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{ОТО}} |
{{ОТО}} |
||
'''Уравне́ния Эйнште́йна''' (иногда встречается название «'''уравнения Эйнштейна — Гильберта'''»<ref name=E> |
'''Уравне́ния Эйнште́йна''' (иногда, сравнительно редко, встречается название «'''уравнения Эйнштейна — Гильберта'''»<ref name=E>О вкладе [[Гильберт, Давид|Гильберта]] и [[Эйнштейн]]а в открытие этих уравнений - см. подробности в статье: [[Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля]].</ref>) — уравнения [[Гравитация|гравитационного поля]] в [[общая теория относительности|общей теории относительности]], связывающие между собой метрику искривлённого [[Пространство-время|пространства-времени]] со свойствами заполняющей его [[материя (физика)|материи]]. Термин используется и в единственном числе: «'''уравне́ние Эйнште́йна'''», так как в [[Тензорное исчисление|тензорной записи]] это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных. |
||
Выглядят уравнения следующим образом: |
Выглядят уравнения следующим образом: |
Версия от 00:02, 25 января 2018
Уравне́ния Эйнште́йна (иногда, сравнительно редко, встречается название «уравнения Эйнштейна — Гильберта»[1]) — уравнения гравитационного поля в общей теории относительности, связывающие между собой метрику искривлённого пространства-времени со свойствами заполняющей его материи. Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна», так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных.
Выглядят уравнения следующим образом:
где — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени посредством свёртки его по паре индексов, R — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, — метрический тензор, — космологическая постоянная, а представляет собой тензор энергии-импульса материи, (π — число пи, c — скорость света в вакууме, G — гравитационная постоянная Ньютона).
Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям. Тождества Бьянки приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.
В более краткой записи
где — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.
Часто лямбда-член Λgμν в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:
Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, c = G = 1 (т. н. геометризованная система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:
Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть).
Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность, приводящая к невозможности использования при их решении принципа суперпозиции.
Исторический очерк
Работа Эйнштейна над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с 1907 года по 1917 год. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов метрический тензор на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к уравнению Пуассона ньютоновской теории гравитации. Затем, в 1913 году вместе с Гроссманом получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).
Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна[2]. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна[1].
Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория Ньютона, так и поправки к ней. Первые точные решения были получены Шварцшильдом для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской космологии.
Решения
Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора gμν пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий, координатных условий и написанием тензора энергии-импульса Tμν, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса решения уравнения Эйнштейна можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии тензора Вейля данного пространства (классификация Петрова).
См. также
- Математическая формулировка общей теории относительности
- Общая теория относительности
- Решения уравнений Эйнштейна
Литература
- Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979.
- Вейнберг С. Гравитация и космология = Gravitation and Cosmology. — М.: Мир, 1975. — 695 с.
- Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900—1915). М.: Наука, 1981.
- Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. — 416с.
- Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля
- Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991.
Примечания
- ↑ 1 2 О вкладе Гильберта и Эйнштейна в открытие этих уравнений - см. подробности в статье: Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля.
- ↑ Визгин В. П. Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы). УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.