Статистика Бозе — Эйнштейна

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. Предложена в 1924 году Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924—1925 годах Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Статистика Бозе-Эйнштейна (так же как и статистика Ферми-Дирака) связана с квантовомеханическим принципом неразличимости тождественных частиц. Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях концентрации частиц (N/V) ≥ n_q, где n_q — это т. н. квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равно средней волне де Бройля для идеального газа при заданной температуре. При концентрации n_q волновые функции частиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т. н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны. Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например, белые карлики. В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый конденсат Бозе — Эйнштейна.

Вывод и описание

Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне $\varepsilon _{i}$ находится $n_{i}$ частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма $E=\sum _{i=0}^{\infty }n_{i}\varepsilon _{i}$, а волновая функция системы есть произведение

$\psi (r)=\psi (r_{1},r_{2},...,r_{n})=\psi _{i_{1}}(r_{1})\psi _{i_{2}}(r_{2})...\psi _{i_{n}}(r_{n})$

где $\psi _{i_{k}}$ — волновая функция для энергетического уровня $\varepsilon _{i_{k}}$.

Общая формула вероятности состояния системы с данным энергетическим уровнем определяется следующим образом (большой канонический ансамбль):

$W(E)=e^{\frac {\Omega +\mu n-E}{\Theta }}g(E)$

где $g(E)$ — кратность вырождения данного уровня энергии.

Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц. Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию. Поэтому для такой волновой функции при характеристике макросостояний необходимо вышеуказанную формулу разделить на $n!$ для исключения многократного учета одного и того же макросостояния в статистической сумме.

Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть

$\psi =\sum _{P}P\psi$

где $P$ — операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния, поэтому $g(E)=1$. Кроме того, отпадает вышеуказанная необходимость деления на $n!$, поскольку для выбранной волновой функции перестановки не приводят к новым микросостояниям. Таким образом, окончательно можно выразить вероятность данного состояния следующим образом через числа заполнения $n_{l}$:

$W(n_{0},n_{1},...)=e^{\frac {\Omega +\sum _{l=0}^{\infty }n_{i}(\mu -\varepsilon _{i})}{\Theta }}$

Отсюда можно показать, что

$\Omega =\Theta \sum _{i=0}^{\infty }\ln(1-e^{(\mu -\varepsilon _{i})/\Theta })$

Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по $\mu _{i}$ условно полагая, что $\mu$ различаются для каждого $i$. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем

${\overline {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}$

где $\varepsilon _{i}>\mu$, n_i  — количество частиц в состоянии i, ε_i  — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

В пределе $kT\ll \varepsilon _{i}-\mu$ статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе $kT\gg \varepsilon _{i}-\mu$ — в распределение Рэлея:

${\overline {n}}_{i}={\frac {g_{i}kT}{\varepsilon _{i}-\mu }}$.

Литература

• Бозе — Эйнштейна статистика // Бари — Браслет. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 3).
• Бозе — Эйнштейна статистика / А. Г. Башкиров // «Банкетная кампания» 1904 — Большой Иргиз. — М. : Большая российская энциклопедия, 2005. — С. 674. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 3). — ISBN 5-85270-331-1.

См. также

• Статистика Ферми — Дирака
• Распределение Максвелла
• Конденсат Бозе — Эйнштейна