Связное пространство: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
м откат правок 85.143.112.33 (обс.) к версии 217.118.90.139
Метка: откат
Строка 1: Строка 1:
{{Не путать|Односвязное пространство}}
{{Не путать|Односвязное пространство}}
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style="color:green;background-color:lightgrey;">Множество ''A''</span> связно, а <span style="color:purple;background-color:lightgrey;">множество ''B''</span> несвязно.]]
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style="color:green;background-color:lightgrey;">Множество ''A''</span> связно, а <span style="color:purple;background-color:lightgrey;">множество ''B''</span> несвязно.]]
'''Связное пространство''' — непустое [[топологическое пространство]], которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся [[Открытое множество|открытых]] подмножества.
'''Связное пространство''' — непустое [[топологическое пространство]], которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся [[замкнутое множество|замкнутых]] подмножества.


== Определение ==
== Определение ==


Топологическое пространство называется ''несвязным'', если его можно представить в виде [[объединение множеств|объединения]] двух непустых непересекающихся [[Открытое множество|открытых]] подмножеств.
Топологическое пространство называется ''несвязным'', если его можно представить в виде [[объединение множеств|объединения]] двух непустых непересекающихся [[Замкнутое множество|замкнутых]] подмножеств.


Непустое топологическое пространство, которое не является ''несвязным'' называется ''связным''.
Непустое топологическое пространство, которое не является ''несвязным'' называется ''связным''.

Версия от 00:53, 18 сентября 2018

Множество A связно, а множество B несвязно.

Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.

Определение

Топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых подмножеств.

Непустое топологическое пространство, которое не является несвязным называется связным.

Подмножество топологического пространства называется связным, если оно вместе со своей индуцированной топологией образует связное пространство.

Замечания

  • Заметьте, что по определению, пустое пространство не считается связным.

Эквивалентные определения

Пусть X — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

  1. X связно.
  2. X нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
  3. Единственные подмножества X, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество и всё пространство X.
  4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество и всё пространство X.
  5. X не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
  6. Единственными непрерывными функциями из X в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

Связанные определения

  • Каждое связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства .
    • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
  • Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
  • Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
  • Пространство , для любых двух различных точек и которого существуют открытые непересекающиеся множества и такие, что , называется вполне раздельным.[источник не указан 2226 дней] Очевидно, что любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Рассмотрим множество, состоящее из двух копий множества . Введём отношение эквивалентности по правилу и построим фактор-пространство с фактор-топологией по этому отношению. Это пространство будет вполне несвязным, однако для двух (по определению топологически различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

Свойства

  • В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Впрочем, некоторые авторы не считают пустое множество связным.
  • В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
    • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
  • Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
  • Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
  • Замыкание связного подмножества связно.
    • Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
  • Пусть  — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество
тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
  • Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
  • Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства  — это максимальные связные подмножества множества .
  • Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
  • Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
  • В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
  • Любое линейно связное пространство связно.
    • Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).

Примеры

Вариации и обобщения

См. также