Теорема Штейнера — Лемуса: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
исправление, пунктуация
исправление
Строка 2: Строка 2:
[[Файл:Steiner lehmus.svg|thumb|right|300px|<math>|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\,
[[Файл:Steiner lehmus.svg|thumb|right|300px|<math>|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\,
\gamma=\delta </math> ]]
\gamma=\delta </math> ]]
'''Теорема Штейнера — Лемуса''' теорема [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]].
'''Теорема Штейнера — Лемуса''' теорема [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]].
Известна как пример с виду простого утверждения, которое не имеет простого классического доказательства,
Известна как пример с виду простого утверждения, который не имеет простого классического доказательства,
хотя есть несложное аналитическое доказательство.
хотя есть несложное аналитическое доказательство.



Версия от 13:00, 6 ноября 2018

Теорема Штейнера — Лемуса — теорема геометрии треугольника. Известна как пример с виду простого утверждения, который не имеет простого классического доказательства, хотя есть несложное аналитическое доказательство.

Формулировка

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

История доказательства

Доказательство было дано в работах немецких геометров Якоба Штейнера и Дэниэла Лемуса.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших[1], по мнению редакции, использует метод от противного и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если угол, биссектриса этого угла и сторона, противолежащая этому углу, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы

Вариации и обобщения

  • Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник не указано название статьи — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 31. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Weisstein, Eric W. Steiner–Lehmus theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Несколько доказательств теоремы Штейнера — Лемуса (англ.)

Примечания