Теорема Штейнера — Лемуса: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
исправление, пунктуация |
исправление |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
[[Файл:Steiner lehmus.svg|thumb|right|300px|<math>|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\, |
[[Файл:Steiner lehmus.svg|thumb|right|300px|<math>|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\, |
||
\gamma=\delta </math> ]] |
\gamma=\delta </math> ]] |
||
'''Теорема Штейнера — Лемуса''' теорема [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]]. |
'''Теорема Штейнера — Лемуса''' — теорема [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]]. |
||
Известна как пример с виду простого утверждения, |
Известна как пример с виду простого утверждения, который не имеет простого классического доказательства, |
||
хотя есть несложное аналитическое доказательство. |
хотя есть несложное аналитическое доказательство. |
||
Версия от 13:00, 6 ноября 2018
Теорема Штейнера — Лемуса — теорема геометрии треугольника. Известна как пример с виду простого утверждения, который не имеет простого классического доказательства, хотя есть несложное аналитическое доказательство.
Формулировка
Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.
История доказательства
Доказательство было дано в работах немецких геометров Якоба Штейнера и Дэниэла Лемуса.
В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших[1], по мнению редакции, использует метод от противного и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение.
В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если угол, биссектриса этого угла и сторона, противолежащая этому углу, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы
Вариации и обобщения
- Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник не указано название статьи — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.
Литература
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 31. — ISBN 5-94057-170-0.
- Weisstein, Eric W. Steiner–Lehmus theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Несколько доказательств теоремы Штейнера — Лемуса (англ.)
Примечания
- ↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).