Арифметическая прогрессия: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
отклонено последнее 1 изменение (185.132.242.16) - Не нужно |
|||
Строка 77: | Строка 77: | ||
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия. |
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия. |
||
|} |
|||
=== Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии === |
|||
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам |
|||
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
|||
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>. |
|||
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
|||
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% |
|||
! Доказательство |
|||
|- |
|||
| Запишем сумму двумя способами: |
|||
<math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math> |
|||
<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. |
|||
Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: |
|||
<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math> |
|||
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: |
|||
<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math> |
|||
Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то |
|||
<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> |
|||
Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. |
|||
'''Замечание''': |
|||
Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой. |
|||
|} |
|} |
||
Версия от 21:19, 7 апреля 2019
Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида
- ,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Свойства
Общий член арифметической прогрессии
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
- где — первый член прогрессии, — её разность.
Доказательство |
---|
Пользуясь соотношением выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех : База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что для всех . |
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие .
Доказательство |
---|
Необходимость:
Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:
. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим . Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что . База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что Итак, утверждение верно и при . Это значит, что . Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия. |
Сходимость арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём
Доказательство |
---|
Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат. |
Связь между арифметической и геометрической прогрессиями
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
Доказательство |
---|
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения . |
Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [1]
Примеры
- Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность .
- — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
- Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
- Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
Занимательная история
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.
См. также
Ссылки
- Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.
Примечания
- ↑ Бронштейн, 1986, с. 139.
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.