Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть $V=\mathbb {R} ^{n}$, $V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )$ и $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ — пространство тензоров типа $(p,\;q)$ с естественным тензорным представлением группы $GL^{1}(n)=GL(n)$, тогда структура типа $V_{q}^{p}$ является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа $(p,\;q)$.

Определение через понятие тензорного расслоения

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения $T^{p,\;q}(M)$ на дифференцируемом многообразии $M$, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

$T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{*}.$

Нестрогое определение

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия $M$ ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке $\displaystyle x$ многообразия $\displaystyle M$ некоторый тензор фиксированной валентности $\displaystyle (p,q)$, отнесенный к этой точке $\displaystyle x$. Пусть теперь $\displaystyle {\tilde {M}}$ — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над $\displaystyle M$, и пусть $\displaystyle \pi :{\tilde {M}}\to M$ — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке $\displaystyle y$ многообразия $\displaystyle {\tilde {M}}$ некоторый тензор фиксированной валентности $\displaystyle (p,q)$ на $\displaystyle {\tilde {M}}$, отнесенный к точке $\displaystyle x=\pi (y)$.

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333. — 1060 с.
• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 664 с.