Теорема Зейферта — ван Кампена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка[править | править код]

Пусть — топологическое пространство, — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение также линейно связно, и . Зафиксируем точку . Заметим, что включения

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

, , и .

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

Замечания[править | править код]

  • Если даны задания групп и
и — образующие группы , то

Следствия[править | править код]

  • Если пересечение односвязно, то
то есть фундаментальна группа изоморфна свободному произведению фундаментальных групп и .
  • В частности,
для букета связных и локально односвязных пространств и .
  • Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
    • Например сферу можно покрыть двумя дисками и , где и обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа также тривиальна.

Вариации и обобщения[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
  • Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
  • E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.