Теорема Колмогорова — Арнольда

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.

Трудами Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. А именно,

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$

Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля.

В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.

История

Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение

$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0$

можно перевести в форму $y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$. Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени $n$ можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если $n<7$, и как суперпозиции функций $n-4$ переменных, если $n\geqslant 7$. Для $n=7$ решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения $y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$.

Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.

Варианты теоремы Колмогорова — Арнольда

Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции $\Phi _{q}$, принадлежит Джорджу Лоренцу. Он показал в 1962 году, что внешние функции $\Phi _{q}$ можно заменить на одну функцию $\Phi$. Точнее, Лоренц доказал существование функций $\phi _{q,p}$, $q=0,1,\ldots ,2n$, $p=1,\ldots ,n,$ таких, что

$f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$

Шпрехер заменил внутренние функции $\phi _{q,p}$ на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения $\eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, непрерывная функция $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и действительная возрастающая непрерывная функция $\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$ с $\phi \in \operatorname {Lip} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )}$ для $N\geqslant n\geqslant 2$ такие, что

$f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi (x_{p}+\eta q)+q\right).$

Филлип А. Остранд обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для $p=1,\ldots ,m$ пусть $X_{p}$ — компактные метрические пространства конечной размерности $n_{p}$, и пусть $n=\sum _{p=1}^{m}n_{p}$. Тогда существует непрерывная функция $\phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m$ и непрерывные функции $G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n$ такие, что любая непрерывная функция $f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$ представима в виде

$f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$

Оригинальные ссылки

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
• Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Известия АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.

Дальнейшее чтение

• S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)