Электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке — плоскополяризованная волна, распространяющаяся слева направо. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля — в горизонтальной.

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости $E$ и индукции $B$ электромагнитного поля.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда $q$, тока $I$ или напряжения $U$ называют электрическими колебаниями. Синусоидальный переменный электрический ток является одним из видов вынужденных электрических колебаний.

Вывод формулы

Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad (1)$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,\qquad (2)$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,\qquad (3)$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} ,\qquad (4)$

где

$\nabla$ — векторный дифференциальный оператор набла.

Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение

$\mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} .$

Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right).\quad (5)$

Левая часть (5) эквивалентна:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ,\qquad (6)$

где мы упрощаем, используя уравнение (1).

Правая часть эквивалентна:

$\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} .\qquad (7)$

Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ,$

Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:

$\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} .$

Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}},$

где $c_{0}$ — скорость волны в вакууме, $f$ — описывает смещение.

Или

$\Box f=0,$

где $\Box$ — оператор Д’Аламбера:

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.$

Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость.:

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}},$

которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума $\varepsilon _{0}$, магнитную проницаемость вакуума $\mu _{0}$  и непосредственно скорость света $c_{0}$. До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.

Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right).$

Здесь $\mathbf {E} _{0}$ — постоянная амплитуда колебаний, $f$ — любая мгновенная дифференцируемая функция, ${\hat {\mathbf {k} }}$ — единичный вектор в направлении распространения, а ${\mathbf {x} }$ - радиус-вектор. Мы замечаем, что $f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)$ — общее решение волнового уравнения. Другими словами

$\nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right),$

для типичной волны, распространяющейся в ${\hat {\mathbf {k} }}$ направлении.

Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=0,$

$\mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0.$

Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.

$\nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,$

$\mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} .$

Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$.

Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, $E_{0}=c_{0}B_{0}$, которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$.

С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.

См. также

• Электромагнитное излучение
• Уравнения Максвелла
• Вибратор Герца
• Колебательный контур

Литература

• Баумгарт К. К. Электрические колебания // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.