Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных форм

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ отлично от нуля):

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,$

2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}$

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.

3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

${\frac {dz}{dt}}+iz=0$

и

${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$

где $z=x+i{\frac {dx}{dt}}$ есть нормальная координата.

4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

${\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}$

есть следующая линейная форма

${\frac {dy}{dt}}=-y.$

В том, что $y$ есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

$x=y+{\frac {y}{1+cy}},$

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.

5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с затуханием

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$

и

${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$

где $z$ - искомая нормальная координата. Функция $f$ - произвольный степенной ряд по аргументу $x$, начинающийся с квадратичных членов разложения.

6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$

где $h_{1}$ и $h_{2}$ - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным $x_{1}$ и $x_{2}$, есть пара нелинейных уравнений

${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$

${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$

где $f$ и $g$ — произвольные степенные ряды по единому аргументу $y_{1}y_{2}$. В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.

7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x,$

Литература

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, — Наука, Москва, 1979.
• Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, — Физматлит, Москва, 1998.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мир, Москва, 1970.
• Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, — УМН, 1991, 46:1 (277).