Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом
. Функции
он ставит в соответствие функцию
![{\displaystyle \Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71cc0ad9ef89b921a490472a5c7752e71ed37a6)
в n-мерном пространстве.
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции:
, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля
в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом
[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция
имеет в окрестности точки
непрерывную вторую производную
, то, как это следует из формулы Тейлора
при
,
при ![{\displaystyle r\to 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4aa94b0e5e991e922d960e2af180ddabceb6e9)
вторая производная есть предел
![{\displaystyle \ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e37795e90376f7d56baba95130d7fceb948192a)
Если, переходя к функции
от
переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки
рассматривать её
-мерную шаровую окрестность
радиуса
и разность между средним арифметическим
![{\displaystyle \ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b5f48ab934cece0ed133b7aa9d76485063480f)
функции
на границе
такой окрестности с площадью границы
и значением
в центре этой окрестности
, то в случае непрерывности вторых частных производных функции
в окрестности точки
значение лапласиана
в этой точке есть предел
![{\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e1ea9e42eec842f33e5ec92c3fe789b6cefc3b)
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции
, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
где
— объём окрестности ![{\displaystyle \ Q_{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5783eefa2b953f268fe6de146958f8b9b7806)
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в[2].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции
Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
[править | править код]
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве
:
![{\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f229a97594f7e5b2d4ac45b7536309a266499238)
![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20976c3be6b574fb20939f284033ac2c05f005ac)
- где
— коэффициенты Ламе.
В цилиндрических координатах вне прямой
:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac5348256afe2f75d9d314dbba7d78ed1237a04)
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4df375af88e5634bedafcf2cbe1c99ce4472062)
или
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801604be41ba7030e10b2581f1f2ca75d6340554)
В случае если
в n-мерном пространстве:
![{\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc03724f32b9d3124c333b806e5b60b12ce8c48)
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70817e419f2c0c845d8e553d32111fb9d54f2971)
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
![{\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b52cf63665f311548adc0b0285c91488fe08de4)
Пусть на гладком многообразии
задана локальная система координат и
— риманов метрический тензор на
, то есть метрика имеет вид
.
Обозначим через
элементы матрицы
и
.
Дивергенция векторного поля
, заданного координатами
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка
) на многообразии X вычисляется по формуле
,
а компоненты градиента функции f — по формуле
![{\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17265a29f4af6d3583b7924a091da8712fd6f257)
Оператор Лапласа — Бельтрами на
:
![{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f69d50270e4d6b4ec90dc6a67835966d4eb8a7)
Значение
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
- ↑ Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
- ↑ Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.