Преобразование Мелера — Фока функции
имеет вид:
![{\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \tau \geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280c320e9596cbcd557346d9d65f5525466486b8)
где
— сферическая функция Лежандра первого рода. Если
— вещественная функция, причём
![{\displaystyle f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d9251f507fb394f8673aea162e3e43b1c36dcc)
тогда интеграл
, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых
.
Обратное преобразование имеет вид:
![{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b25c9b33464559b3b726db3c61ecb0a104ddcf)
Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.
Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.
Иногда определение
распространяют и на
, полагая
![{\displaystyle F(-\tau )=F(\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b42e33dd5568ec59df52ba61c7dba8f3301510)
В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:
![{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853b7849a97202c8cb41ee9b9049aa1836a90f68)
На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.
В литературе встречается определение:
![{\displaystyle {\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe5ae34f14ca3a492c5f88ad49ba64420da73c1)
Тогда, если
,
— локально интегрируема на
и
, верна формула обращения:
![{\displaystyle f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6945e32fbd6da756bd6901f4107a6fff41a12b8a)
Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.
Примерами, таких интегральных представлений являются:
![{\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608b6ce951d288dceb5d65321db201ddf9d37b60)
(данное представление также называют интегралом Мелера)
![{\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edca01e5777fd39b0f704019231cb72c641beac)
Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.
Пусть
— две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:
![{\displaystyle g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x)\in L_{2}(1,\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7368bd8dff6094f0e82b6e20700eb27df8a3dfeb)
а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:
![{\displaystyle G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fdc9528b867c5030b01e1a6c381f11cf12fc98)
![{\displaystyle g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fffd0ea4aa0c8d8d5bb691487fbeb82b42648e)
тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a03817bec1d482d3fda447288f62caf73a5e2f7)
Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:
![{\displaystyle f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1,\quad \pi \lambda <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46010c61965d2172d9a9f3e14130be492643012b)
Пусть преобразования Мелера — Фока
![{\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5678c6e2d8ee92358cd1e185be444c7a419e38)
![{\displaystyle G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455c1722584efec2d2987939d5b4ec09d68a3bbd)
существуют.
Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:
![{\displaystyle F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}F(\tau ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e35ebf21640e3c5c334a1718fd2c93ef9dbf63)
откуда:
![{\displaystyle F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784f1312e138e486f6eac5ee1f99979007cb2a17)
Если
— непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале
причём
![{\displaystyle g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad8e9afe5b16a604bfd04b70d78980a38977ba1)
![{\displaystyle G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f166e658b2be4bc937faea79fbe3592d74a4d7)
то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:
![{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6dea422071683d024afeadd1874e33f01a060d)
Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:
![{\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0807c43595a894df7f12f18662f5da70d4ade983)
где
— присоединённые функции Лежандра 1-го рода.
Соответствующая формула обращения:
![{\displaystyle f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656b0a834a5034e5811ed9ff37947e4853fa3734)
- При
получится случай обычного преобразования Мелера — Фока
.
- При
получится косинус-преобразование Фурье.
- При
получится синус-преобразование Фурье.
- Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961