Изофота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Освещённый эллипсоид с изофотами (изображены красным цветом)

Изофота (англ. Isophote) — кривая на освещённой поверхности, соединяющая точки с одинаковой яркостью. Предположим, что освещённость создаётся пучком параллельных лучей света, а яркость выражается скалярным произведением:

представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности в точке , а вектор является единичным вектором в направлении распространения света. В случае , когда свет перпендикулярен к нормали к поверхности, точка является точкой на силуэте поверхности в направлении . Яркость 1 означает, что луч света перпендикулярен поверхности. На плоскости в рамках предположения о параллельности пучка лучей изофоты будут отсутствовать.

Применение

[править | править код]
Изофоты на двух поверхностях Безье: слева видны изломы, справа изофоты гладкие

В системах автоматизированного проектирования изофоты используются для оптического контроля гладкости стыковки поверхностей. Для поверхности (заданной неявно или параметрически), дифференцируемой достаточное количество раз, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность имеют на 1 меньший порядок, чем сама поверхность. Если в точке поверхности непрерывными являются только касательные плоскости (гладкость порядка 1), то изофоты обладают изломами (гладкость только нулевого порядка).

В следующем примере две пересекающиеся поверхности Безье закрыты участком третьей поверхности. На рисунке слева закрывающая поверхность касается поверхностей Безье с порядком гладкости 1, на рисунке справа — с порядком гладкости 2. Из самих рисунков разница ситуаций видна плохо, но исследование геометрической непрерывности изофот показывает: на рисунке слева изофоты имеют изломы (гладкость порядка 0), а на рисунке справа изофоты выглядят гладкими (гладкость порядка 1).

В астрономии

[править | править код]
Изображение галактики NGC 5247 в инфракрасном диапазоне и соответствующие изофоты

В астрономии изофотой называют кривую на изображении объекта, проходящую через точки с одинаковой поверхностной яркостью[1]. Часто их применяют для графического представления распределения поверхностной яркости в протяжённых источниках света, например, в галактиках. В отличие от простых изображений, карты изофот позволяют одновременно визуально оценить структуру галактики как в центральных областях, так и на периферии, а также приближённо оценить закон, по которому распределена поверхностная яркость в галактике[2].

Определение точек изофоты

[править | править код]

на неявно заданной поверхности

[править | править код]

Для неявно заданной поверхности с уравнением изофоты удовлетворяют равенству

Это означает: точки на изофоте с заданным параметром представляют собой решение нелинейной системы

которую можно рассматривать как линию пересечения двух неявно заданных поверхностей. Используя алгоритм, представленный Bajaj и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник из точек изофот.

на параметрически заданной поверхности

[править | править код]

В случае параметрически заданной поверхности уравнение для изофот имеет вид

что эквивалентно выражению

Данное уравнение описывает неявно заданную кривую в плоскости s-t, которую можно представить с помощью подходящего алгоритма и преобразовать с помощью в точки на поверхности.

Литература

[править | править код]
  • J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, p. 31.
  • Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, p. 158.
  • C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch, J.E.H. Hopcroft: Tracing Surface Intersections, (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
  • C. T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, p. 209.

Примечания

[править | править код]
  1. J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, p. 178.
  2. Решетников В. П. Поверхностная фотометрия галактик. 3.1 Графические способы. Астронет. Дата обращения: 6 декабря 2023.