Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции
при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен
степени
, значения которого в заданных точках
совпадают со значениями
функции
в этих точках. Многочлен
определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Функция
может быть интерполирована на отрезке
интерполяционным многочленом
, записанным в форме Лагранжа[1]:
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4792c8db937877f7846748d2013e242d71e8841b)
при этом ошибка интерполирования функции
многочленом
[2]:
![{\displaystyle |f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4436864f1fb21d3a0d600eff5f603ba737a6506d)
В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:
![{\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64e50a5a72634410b93b6b809c8dfd8cbb9c346)
Если точки
расположены на равных расстояниях
, многочлен
можно записать так[3]:
![{\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9684328309939ab2846089aff525db527ee2f41d)
Здесь
, а
— конечная разность порядка
. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения
, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от
. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений
, близких к
. При интерполировании функций для значений
, близких к
, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов[4]:
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf6badf21e92565f20c978502edc103a0f679b5)
где
— обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой
-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений[5].
Если использовать набор узлов
, где
, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга[6]:
![{\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}}\delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae79bad9a1cfacce1ffa0e9bb57833b9c6894165)
Здесь
, а
— центральная конечная разность порядка
.
Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид[7]
![{\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)(t-{\frac {1}{2}})}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7546586381dc9e08f861bcf8b15079d32c0ddb8)
Эта формула особенно удобна для интерполирования при
, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению
, то есть интерполяции «на середину»[8].
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 85.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 91.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 119.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 115.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 107.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 127.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 129.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 130.
- [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]
| Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).
- bse.sci-lib.com/article055748.html
|