Краевая задача

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

[править | править код]

Линейные уравнения n-го порядка

[править | править код]

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

где

функции и непрерывны на отрезке , , краевые условия заданы линейными формами

— заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов имеет ранг , при этом краевые условия линейно независимы. Если и , краевая задача называется однородной, если только полуоднородной.[1]

Задача на собственные значения

[править | править код]

Собственными значениями называются те значения параметра , при которых однородная краевая задача

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

. Если , то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.[2]

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

  • Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
  • Задача о разложении по собственным функциям. Если — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция может быть разложена в сходящийся ряд

по функциям ?[3][4]

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

Функция Грина

[править | править код]

Теорема 1. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции , непрерывной на отрезке , существует решение полуоднородной краевой задачи , задаваемое формулой

где функция Грина однородной краевой задачи.[5]

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , удовлетворяющих краевым условиям , и действующий по правилу . При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром .

Функция Грина однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. непрерывна и имеет непрерывные производные по до -го порядка включительно для всех значений и из интервала .
  2. При любом фиксированном из отрезка функция имеет непрерывные производные -го и -го порядка по в каждом из интервалов и , причем производная -го порядка имеет при скачок .
  3. В каждом из интервалов и функция , рассматриваемая как функция от , удовлетворяет уравнению и краевым условиям .

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.[6]

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

Решение имеет вид

где — решения краевых задач

[7]

Краевая задача с параметром

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

где

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра .[8]

Системы линейных дифференциальных уравнений

[править | править код]

Краевая задача состоит в отыскании системы функций , удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

и краевым условиям

где — функции, непрерывные на отрезке ,

матрица

имеет ранг , — заданные числа.[9]

Численные методы решения

[править | править код]

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

удовлетворяет дифференциальному уравнению

,

где функции находятся как решения задачи Коши

Затем находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию .[18][19]

Применение

[править | править код]

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.[20]

Уравнения в частных производных

[править | править код]

Обозначения

[править | править код]

Пусть — ограниченная область в с кусочно-гладкой границей , — вектор нормали к границе , направленный вовне области , производная по направлению нормали, . Функции удовлетворяют условиям:

Здесь — замыкание области , — множество функций, непрерывных в , — множество функций, раз непрерывно дифференцируемых в .

Уравнения гиперболического типа

[править | править код]

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению

начальным условиям

и граничному условию

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

и условие согласованности

.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[21]

Уравнения параболического типа

[править | править код]

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению

начальному условию

и граничному условию

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

и условие согласованности

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[22]

Уравнения эллиптического типа

[править | править код]

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

.

Пусть область такова, что .

  • Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на границе заданные (непрерывные) значения .
  • Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на заданные (непрерывные) значения и обращающуюся в нуль на бесконечности.
  • Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную .
  • Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.[23]

Методы решения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 187.
  2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 193.
  3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, Часть вторая, глава I, §2.
  4. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, Часть первая, главы I, II.
  5. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 40.
  6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 38-39.
  7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 190.
  8. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 44.
  9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 249.
  10. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 262.
  11. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 268.
  12. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 372.
  13. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 276.
  14. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 391.
  15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 222.
  16. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 12.
  17. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 2.
  18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 9, §9.
  19. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 3.
  20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 88.
  21. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.2.
  22. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.3.
  23. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.6.
  24. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004.
  25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999.
  26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 70.
  27. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.7.
  28. Самарский А. А. Численные методы, 1989, часть III.
  29. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 10, §9.

Литература

[править | править код]

Обыкновенные дифференциальные уравнения

[править | править код]
  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
  • Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

Уравнения в частных производных

[править | править код]

Численные методы

[править | править код]
  • На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
  • Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
  • Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
  • Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.