Тождество четырёх квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

Формулировка

[править | править код]

Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца. Однако если и  — вещественные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

.

Аналогичные тождества

[править | править код]
  • «тождество одного квадрата»
означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,
означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.[1]

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году — почти за 100 лет до появления кватернионов.

Это тождество было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

Примечания

[править | править код]
  1. См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine Гл.7 (п.23.2)