Трисекция угла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3][4] и даже в некоторых научных журналах[5] время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Невозможность построения

[править | править код]

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла разрешима только тогда, когда уравнение

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида если целое число не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами, длины которых выражаются взаимно простыми числами, осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[6].

Построения с помощью дополнительных средств

[править | править код]

Трисекция угла при помощи невсиса

[править | править код]
Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса
Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол (рис. 1). Необходимо построить угол , величина которого втрое меньше данного: .

Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках и . Продолжим сторону исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему , и используя прямую в качестве направляющей, точку в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок . Получим угол , равный одной трети исходного угла .

Доказательство

Рассмотрим треугольник (рис. 2). Так как , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: . Угол как внешний угол треугольника равен .

Треугольник также равнобедренный, углы при его основании равны , а угол при вершине . С другой стороны, . Следовательно, , а значит, .

Примечания

[править | править код]
  1. С. Кудряшов. Задача Евклида // Труд : газета. — Молодая гвардия, 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль. Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3. Архивировано 29 декабря 2007 года.
  3. К. Попов. Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62—64. Архивировано 14 июля 2014 года.
  4. Бывшая учительница математики предложила решение нерешаемой задачи. Российская газета. Дата обращения: 29 апреля 2020. Архивировано 29 апреля 2020 года.
  5. Жарков Вячеслав Сергеевич. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла) // SCI-ARTICLE. — 2016. — № 31. Архивировано 13 октября 2017 года.
  6. Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  7. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..
  8. Петрунин А. Плоское оригами и построения // Квант. — 2008. — № 1. — С. 38—40.

Литература

[править | править код]
  • Белозёров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов н/Д., 1975.
  • История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.
  • Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. — М.: Наука, 1992. — Т. 62. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).
  • Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 29—45. — 96 с..
  • Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.
  • Карпов Николай. Прибор для деления острого угла на три равные части // В.О.Ф.Э.М.. — 1891. — № 130. — С. 218—219.