Уравнение Лейна — Эмдена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид

где — безразмерный радиус, связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Показатель является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

где и — давление и плотность, — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: и . Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом . Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

Применение

[править | править код]

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравнения

[править | править код]

Из условия гидростатического равновесия

[править | править код]

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

где также является функцией . Повторное дифференцирование приводит к выражению

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на и переносим слагаемые с производными в левой части:

Делим обе части на , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на и ,то равенство примет вид

Выполним подстановку , где

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

Из уравнения Пуассона

[править | править код]

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения как . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения . Существуют точные аналитические решения для определённых значений , в частности для . Для между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением , где .

Для данного решения профиль плотности задаётся выражением

.

Полную массу модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до .

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния , то есть

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид , где — постоянная Больцмана, — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

Точные решения

[править | править код]

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы .

Если , уравнение имеет вид

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

Поделим обе части на , проинтегрируем:

Граничные условия и предполагают, что постоянные интегрирования равны и . Следовательно,

Если , уравнение можно представить в виде

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы при . Тогда , что даёт решение в виде

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

Для получим

Дифференцируем по ξ:

После упрощения получаем

Таким образом, уравнение имеет решение

при . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решения

[править | править код]

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

Здесь представляет собой безразмерную массу, определяемую как . Соответствующими начальными условиями являются и . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменные

[править | править код]

Гомологически инвариантное уравнение

[править | править код]

Известно, что если является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

и

После дифференцирования логарифмов данных переменных по получим выражения

и

.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от , после чего получим выражение

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравнения

[править | править код]

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

и

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]

Литература

[править | править код]

Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.

Примечания

[править | править код]