Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ обычно обозначается $G/H$.

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

Пусть $G$ — группа, $H$ — её нормальная подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности $H$ в $G$

$aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}$

можно ввести умножение:

$(aH)(bH)=abH$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $aH=a'H$ и $bH=b'H$, то $abH=a'b'H$. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа $G/H$ называется факторгруппой $G$ по $H$.

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\varphi :G\to K$

$G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)$,

то есть факторгруппа $G$ по ядру $\mathrm {Ker} \,\varphi$ изоморфна её образу $\varphi (G)$ в $K$.

• Отображение $a\mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G\to G/H$.
• Порядок $G/H$ равен индексу подгруппы $[G:H]$. В случае конечной группы $G$ он равен $|G|/|H|$.
• Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G/H$ будет обладать тем же свойством.
• $G/G$ изоморфна тривиальной группе ($\{e\}$), $G/{e}$ изоморфна $G$.

Примеры

• Пусть $G=\mathbb {Z}$, $H=n\mathbb {Z}$, тогда $G/H$ изоморфна $\mathbb {Z} _{n}$.
• Пусть $G=\mathbf {UT} _{n}$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), $H=\mathbf {SUT} _{n}$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда $G/H$ изоморфна группе диагональных матриц.
• Пусть $G=S_{4}$ (симметрическая группа), $H=V_{4}$ (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда $G/H$ изоморфна $S_{3}$.
• Пусть $G=S_{n}$ (симметрическая группа), $H=A_{n}$ (знакопеременная группа), тогда $G/H$ изоморфна $\mathbb {Z} _{2}$.
• Пусть $G=Q_{8}$ (группа кватернионов), $H=\mathbb {Z} _{2}$(циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда $G/H$ изоморфна $V_{4}$.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7.