Эрмитово сопряжённая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Например, если:

то:

.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Определения и обозначения

[править | править код]

Если исходная матрица имеет размер , то эрмитово сопряжённая к матрица будет иметь размер , а её -й элемент будет равен:

,

где  обозначает комплексно сопряжённое число к (сопряжённое число к есть , где и  — вещественные числа).

Другая запись определения:

.

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как или (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности,  (в квантовой механике) и  (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица , если .

Для квадратных матриц существует набор связанных определений — называется:

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

  • для любых двух матриц и одинаковых размеров;
  • для любого комплексного скаляра ;
  • для любых матриц и , таких, что определено их произведение (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
  • для любой матрицы .

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица ; при этом:

для любой матрицы размера и любых векторов и . Обозначение обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы и являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы (необязательно квадратной). Если квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.