Александровская геометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера[1]. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов[2].

Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым[3][4]. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном[5].

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

  • Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
  • Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом[6].

Основные определения

[править | править код]

Треугольник сравнения для тройки точек метрического пространства это треугольник на евклидовой плоскости с теми же длинами сторон; то есть

Угол при вершине в треугольнике сравнения называется углом сравнения тройки и обозначается .

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство. Для произвольных 4 точек рассмотрим пару треугольников сравнения и , тогда для произвольной точки выполняется неравенство

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет -неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие -неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство. Для произвольных 4 точек выполняется неравенство

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет -неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну

[править | править код]

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство  — модельную плоскость кривизны . То есть

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной и в смысле Александрова. В случае , треугольник сравнения тройки считается определённым, если

.

Основные теоремы

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
  2. В. Н. Берестовский. Пространства с ограниченной кривизной и дистанционная геометрия // Сиб. матем. журн.. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 11—25.
  3. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
  4. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
  5. Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
  6. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

Литература

[править | править код]