C*-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс -алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение -алгебр[1], с того момента -алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных -алгебр.

Частным случаем -алгебры является комплексная алгебра над полем линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

Другой важный класс негильбертовых -алгебр составляют алгебры непрерывных функций на пространстве .

Определения

[править | править код]

Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком-алгеброй называют[2], -алгебра определяется как банахова алгебра над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой которой определено отображение со следующими свойствами:

  • инволютивность: ,
  • согласованность со сложением: ,
  • согласованность с умножением: ,
  • для всякого выполнено ,
  • выполнено так называемое -тождество:

Все эти свойства без -тожества определяют -алгебру (то есть -алгебра — это -алгебра с -тождеством). -тождество эквивалентно формуле:

.

-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что -норма однозначно определяется алгебраической структурой:

.

Ограниченный оператор между -алгебрами и называется -гомоморфизмом, если для всех и из выполняется:

и для всех из выполняется:

.

В случае -алгебр, любой -гомоморфизм между -алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой . Кроме того, инъективный -гомоморфизм между -алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями -тождества.

Биективный -гомоморфизм называется -изоморфизмом, и в этом случае и называются изоморфными.

Примечания

[править | править код]
  1. I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217
  2. Данное определение впервые приведено в статье I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.
  • Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
  • Arveson W.[англ.]. An Invitation to -Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
  • Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X
  • Dixmier, Jacques (1969), Les -algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
  • Doran, Robert S.; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of -algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
  • Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
  • A. I. Shtern (2001), "C* algebra", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Sakai, S. (1971), -algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
  • Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (2): 73—88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5