Веер Кнастера — Куратовского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским[1].

Построение

[править | править код]

Рассмотрим прямоугольник

Построим на его нижнем ребре канторово множество и обозначим через множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через все остальные точки из . Пусть это отрезок прямой, соединяющий точку с точкой

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество , где

Обоснование

[править | править код]

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества и такие, что и при этом . Для определённости будем считать, что . Обозначим за точку из , с -координатой равной точной верхней грани -координат всех точек, входящих в . Если же пусто, будем считать, что . Очевидно, что не может принадлежать , так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для так и для , что противоречит предположению несвязности. То есть, или .

Пусть — все рациональные числа отрезка , обозначим:

Тогда , то есть . Заметим, что нигде не плотны в , иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с лежало бы в , но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из в то время как .

Множество является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество также второй категории. Но первой категории ( счётно, а является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве обязаны лежать точки из ; то есть плотно в .

Теперь допустим, что . В силу плотности в , любое открытое множество, содержащее , содержит также и некоторый сегмент отрезка для какого-то . По определению множества имеем , это значит, что . Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки делает вполне несвязным. Предположим, что связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество вполне несвязно, значит, и вполне несвязно.

Примечания

[править | править код]
  1. Knaster B., Kuratowski C.. Sur les ensembles connexes, Fund. Math., 2 (1921) pp. 206—255.

Литература

[править | править код]
  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
  • Steen, Seebach. Counterexamples in Topology