Дилогарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Действительная и мнимая части функции

Дилогари́фмспециальная функция в математике, которая обозначается и является частным случаем полилогарифма при . Дилогарифм определяется как

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной . Для действительных значений у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса[2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)[3], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношения

[править | править код]

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

Для действительных ,

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

Частные значения

[править | править код]

Используя соотношение между функциями от и , получаем

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ,

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

где постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

Функции, связанные с дилогарифмом

[править | править код]
  • Функция Клаузена
Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
Таким образом,
  • Функция Лобачевского
Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
  • Интегральный арктангенс
Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
Таким образом,
Эта функция выражается через дилогарифмы как
В частности, .

Примечания

[править | править код]
  1. Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
  2. Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля // ТМФ. — 1984. — Т. 60. № 1. — С. 59—71. Дата обращения: 1 апреля 2019. Архивировано 19 июня 2022 года.
  3. William Spence — Biography. Дата обращения: 7 февраля 2011. Архивировано 28 октября 2019 года.
  • Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR: 0105524
  • Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
  • Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
  • Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.