Полугеодезические координаты
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты в Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle n} -мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие , являются геодезическими, на которых играет роль натурального параметра, а координатные поверхности ― ортогональны этим геодезическим.
В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид[1]
то есть и при всех .
Примеры[править | править код]
- Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.
- Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензором[источник не указан 2563 дня]
- Иначе говоря, -мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению .
Свойства[править | править код]
- Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия[1].
- Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции Буземана[источник не указан 2563 дня].
- В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах имеет вид[1]
- с положительной функцией , при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле
Литература[править | править код]
- Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981.
- W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982).
- W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983).
- B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).