Правило произведения
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.
Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: , а для производной следующим: .
Открытие[править | править код]
Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.[1]
Вот аргумент Лейбница: пусть и - две дифференцируемые функции от . Тогда дифференциал от равен:
Поскольку произведение несоизмеримо меньше чем или , Лейбниц пришел к выводу, что:
и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал , то получим:
Формула также может быть записана в нотации Лагранжа[2]:
Вариации и обобщения[править | править код]
Многократная производная[править | править код]
Для -ой производной существует обобщённая формула Лейбница:
- где — биномиальные коэффициенты.
Градуированная алгебра[править | править код]
Операция на градуированной алгебре удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ,
где — умножение в . Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.
Ассоциативная алгебра[править | править код]
В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора По этой причине оператор называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор
Как следствие,
См также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Michelle Cirillo (August 2007). "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher. 101 (1): 23—27. doi:10.5951/MT.101.1.0023.
- ↑ Доказательство правила дифференцирования произведения функций . Томский Политехнический Университет.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |