Симплициальный комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Трёхмерный геометрический комплекс.
Триангуляция полнотория.

Симплициальный компле́кс[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Определения

[править | править код]

Симплициальный комплекс

[править | править код]

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплекс

[править | править код]

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

  • с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
  • любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
  • у любой точки комплекса есть окрестность такая, что если пересекается с симплексом комплекса , то .

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:

  • любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплекс

[править | править код]

Абстрактный комплекс[англ.] — это множество с выделенным набором его конечных подмножеств таких, что если и то .

При этом элементы множества называются вершинами комплекса, а элементы множества называются его симплексами.

Связанные определения

[править | править код]
  • n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
  • Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.

  • Замыкание (обозначается ) есть наименьший подкомплекс в , содержащий каждый симплекс из . Замыкание может быть получено путём добавления к всех граней всех симплексов из .
  • Звезда от (обозначается ) — объединение звёзд всех симплексов в . Для одного симплекса звезда  — это набор симплексов, имеющих своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).
  • Линк (обозначается ) может быть определён как
Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из но не имеющие граней из .

Примечания

[править | править код]
  1. Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22). ;
    Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.

Литература

[править | править код]
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)