Теорема Хадвигера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Хадвигера характеризует непрерывные валюации на выпуклых телах в евклидовом пространстве, инвариантные относительно движений. Доказана Гуго Хадвигером.

Пусть  — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в . Валюация на есть функция такая, что равенство

выполняется для любых таких, что ,

При этом

  • Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
  • Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого выполняется

Средняя поперечная мера

[править | править код]

-ая средняя поредняя поперечная мера тела определяется как средняя -мерная площадь проекций на -мерные плоскости.

В частности,

  •  — объём ,
  • — пропорциональна площади поверхности .

Формулировка

[править | править код]

Любая непрерывная валюация v на Kn , инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде

Литература

[править | править код]
  • Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 25—31 июля, 2014 Ярославль
  • Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
  • Klain, D.A.; Rota, G.-C.[англ.]. Introduction to geometric probability (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-59362-X.
  • Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem (англ.) // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105. — P. 107—120. — doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.