H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение[править | править код]

\mu \colon X\times X\to X

с единичным элементом, то есть элементом $e\in X$ такое, что

\mu (e,x)=\mu (x,e)=x

для любого $x\in X$ называется H-пространством.

Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения $x\mapsto \mu (e,x)$ $x\mapsto \mu (e,x)$ и $x\mapsto \mu (x,e)$ $x\mapsto \mu (x,e)$ гомотопны тождественному (иногда с фиксированным $e\in X$ $e\in X$ ).
- Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

Каждая топологическая группа является H-пространством.
Для произвольного топологического пространства $X$ $X$ пространство ${\mathcal {H}}_{X}$ ${\mathcal {H}}_{X}$ всех непрерывных отображений $X\to X$ $X\to X$ , гомотопных тождественному, является H-пространством.
- При этом $\mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}$ можно определить как композицию $\mu (f,g)=f\circ g$ .

Среди сфер, только $\mathbb {S} ^{0}$ $\mathbb {S} ^{0}$ , $\mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}$ , $\mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{3}$ и $\mathbb {S} ^{7}$ $\mathbb {S} ^{7}$ являются H-пространствами. При этом
- Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
- $\mathbb {S} ^{0}$ , $\mathbb {S} ^{1}$ и $\mathbb {S} ^{3}$ являются группами Ли, а $\mathbb {S} ^{7}$ — нет.

Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Section 3.C