Метод анализа иерархий

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией. В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Метод Анализа Иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским ученым Томасом Л. Саати в 1970 году, с тех пор он активно развивается и широко используется на практике. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании. Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки [1]. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Практическое применение МАИ

МАИ может успешно использоваться для решения простых задач, однако его эффективность проявляется при поиске решения сложных проблем, требующих системного подхода и привлечения большого числа экспертов [2]. Задачи, для решения которых может быть применен МАИ [3]:

• Проблема многокритериального выбора. Выбор одной альтернативы из имеющегося набора альтернатив на основе некоторых критериев.
• Ранжирование. Многокритериальное упорядочивание заданного множества альтернатив.
• Определение приоритетов альтернатив и критериев в задачах многокритериального выбора.
• Распределение ресурсов. Распределение ресурсов между альтернативами из заданного множества.
• Сопоставительный анализ. Разработка рекомендаций по оптимизации внутренних процессов организации на основе успешного опыта конкурентов.
• Управление качеством. Анализ различных аспектов качества и пути улучшения качества.

Можно привести множество примеров успешного применения МАИ для решения сложных проблем [4], в частности, следующие:

• Выработка стратегии, направленной на уменьшение негативного влияния глобального изменения климата (Fondazione Eni Enrico Mattei) [5].
• Вычисление показателя совокупного качества программных комплексов (Microsoft Corporation) [6].
• Выбор специализации при учебе в университете (Bloomsburg University of Pennsylvania) [7].
• Принятие решения о месторасположении оффшорных предприятий (University of Cambridge) [8].
• Оценка рисков, связанных с функционированием нефтяных трубопроводов, пролегающих на территории страны (American Society of Civil Engineers) [9].
• Разработка стратегии наиболее эффективного управления водоразделами США (U.S. Department of Agriculture) [4].

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях [12, 13]. Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD [14], [15], [16]. Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ [17]. Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал [18].

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Применение метода анализа иерархий

Один из этапов Метода Анализа Иерархий - математическая обработка (синтез) сформированных суждений. В зависимости от сложности решаемой задачи, данные суждения могут исчисляться десятками и даже сотнями. Все математические операции могут быть проделаны вручную, однако предпочтительнее использовать машинные методы. Некоторые программные реализации основаны на простых средствах для работы с электронными таблицами, в самых же продвинутых системах применяются специализированные программные и аппаратные средства, которые позволяют принимать и обрабатывать суждения от экспертов удаленно. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

1. Представление входных данных задачи в виде иерархической структуры.
2. Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.
3. Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
4. Проверка суждений на согласованность.
5. Принятие решения на основе полученных результатов. [19]

Перечисленные шаги ниже описаны более детально.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ – построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи [19].

Определение иерархической структуры

Иерархическая структура – это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т.д.. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах. В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т.д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы [19].

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия – это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива – это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т.п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий [20]. Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив [19].

Расстановка приоритетов

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты – это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса узлов элементов в каждой группе. Как и вероятности, приоритеты представляют собой числа в абсолютной шкале от нуля до единицы, без целых частей и степеней. Узел с приоритетом .200 имеет в два раза больший вес при решении задачи достижения цели, чем узел с приоритетом .100; в десять раз больший вес узла с приоритетом .020 и так далее. В зависимости от решаемой задачи, "вес" может означать важность, предпочтение, вероятность, или любой другой фактор, рассматриваемый ЛПР. Приоритеты в иерархии расставляются в зависимости от ее структуры, и их значения вычисляются на основе информации, вводимой пользователем. Приоритеты Цели, Критериев и Альтернатив являются тесно взаимосвязанными, однако рассматривать их необходимо по отдельности. Приоритет Цели, по определению, равен единице. Приоритеты Альтернатив в сумме также всегда дадут 1.000. Если уровень Критериев один, то сумма весов их приоритетов равна единице, однако при многоуровневой организации Критериев могут возникнуть некоторые сложности при нахождении общей суммы. Все приведенные утверждения проиллюстрированы на данном примере:

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.

В приведенном примере приоритеты на каждом уровне иерархии – Целей, Критериев, Альтернатив – в сумме составляют единицу. Значения приоритетов в данном примере - это значения, существующие до тех пор, пока не введена актуальная информация, касающаяся весов Критериев и Альтернатив; таким образом, изначально приоритеты элементов каждого уровня равны. Они называются приоритетами по умолчанию. Т.е., по сути, если добавить пятый Критерий в иерархическую структуру, значение приоритета по умолчанию для каждого Критерия станет равным 0.200. Если бы Альтернатив было всего две, значения их приоритетов по умолчанию равнялись бы 0.500. Помимо вышеизложенного, существуют еще два подхода, которые применяются при наличии нескольких уровней иерархии Критериев: локальные приоритеты и глобальные приоритеты. Рассмотрим иерархию, которая имеет несколько Подкритериев каждого Критерия.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию. Для наглядности Альтернативы на диаграмме не показаны.

Значения локальных приоритетов, выделенные серым цветом, показывают соответствующие веса узлов в рамках группы элементов, имеющих одинаковые родительские элементы. Легко заметить, что сумма значений локальных приоритетов каждой группы Критериев, а также связанной с ней группы Подкритериев равняется единице. Значения глобальных приоритетов, выделенные черным, получены путем умножения локальных приоритетов элементов одной группы на глобальные приоритеты их родительских элементов. Значения глобальных приоритетов на каждом уровне подкритериев в сумме составляют единицу. Правило заключается в следующем: в иерархии глобальные приоритеты дочерних узлов всегда дают в сумме значение глобального приоритета своего родителя. Сумма же локальных приоритетов по группе равна 1.000. Пока мы рассмотрели значения приоритетов по умолчанию. Однако, по мере выполнения шагов Метода Анализа Иерархий, значения приоритетов относительной значимости элементов изменятся на значения, которые введет пользователь, опираясь на свои предпочтения. Определение приоритетов осуществляется путем составления попарных сравнений.