Экспоненциальный рост

Линейная (красная), степенная (синяя) и экспоненциальная (зелёная) зависимости

Экспоненциальный рост — возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Подчиняется экспоненциальному закону. Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной или степенной зависимостям. В случае дискретной области определения с равными интервалами его ещё называют геометрическим ростом или геометрическим распадом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). Экспоненциальная модель роста также известна как мальтузианская модель роста.

Свойства

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растёт. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость её роста прямо пропорциональны. Но при этом, в отличие от гиперболической, экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.

Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любой степенной и, тем более, любой линейный рост.

Математическая запись

Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением:

${\frac {dx}{dt}}=kx$

Решение этого дифференциального уравнения — показательная функция (при $a=1$ и $k=1$ она является экспонентой или, чтобы не вызывать разночтений, натуральной экспонентой):

$x=ae^{kt}$

Примеры

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты.

См. также

• Экспонента
• Показательная функция
• Логарифмический масштаб
• Информационный взрыв
• Режим с обострением
• Сложные проценты

Ссылки

• Экспоненциальный рост