Многочлен Кауфмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Луисом Кауфманом (англ. Louis Kauffman). Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

,

где  — закрученность диаграммы зацепления и  — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

  • ( — тривиальный узел);
  • ;
  • не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь  — нить, а (соответственно, ) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Рисунки представляют многочлен диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне[уточнить].

Кауфман показал, что существует и является регулярно-изотопическим[англ.] инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда сужается до скобок Кауфмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для [1].

Примечания

[править | править код]
  1. Witten. «Quantum field theory and the Jones polynomial» // Commun. Math. Phys.

Литература

[править | править код]
  • Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1.